Mex Processor

• author: Irene
• filename: Integral_definido.txt
• title: Integral definido
• uploaded: Fri Dec 9 14:01:22 WET 2011

#title: Integral definido

#author: Irene

#let:

n a = [-3,-2,-1,1,2,3];

n b = [-3,-2,-1,1,2,3];

n c = [2,3];

n d = [-2,1,2];

n e = [-1,2,3];

f u = [(#a*x + #b)^#c ];

f v = [((#a*x + #b)^(#c + 1))/(#a * (#c + 1))];

f e1 = ratsimp(#a*#e + #b);

f e2 = ratsimp(#a*#d + #b);

f e3 = ratsimp(#a*(#c + 1));

f e4 = ratsimp(#c + 1);

f e5 = ratsimp(#e1^#e4-#e2^#e4);

f e6 = ratsimp(#e5/#e3);

f e7 = ratsimp(#a*x + #b);

u ~ v;

d ~ e;

#question:

Calcule o integral definido

$$
 \int_{#d}^{#e} #u\, dx.
$$

#sugestion:

Utilize a fórmula ... .

#resolution:


Calculando o integral
$$
 \int_{#d}^{#e} #u\, dx,
$$

obtém-se

$$
 \int_{#d}^{#e} #u\, dx
$$
$$
 = \left[ \frac{ (#e7)^{#c + 1} }{ #a (#c + 1) }\right]_{#d}^{#e}=\frac{ (#e1)^{#e4} - (#e2)^{#e4} }{#e3}
$$

$$
 = \frac{#e5}{#e3} = #e6.
$$


#result:

$$
 \int_{#d}^{#e} #u\, dx
$$
$$
 = #e6.
$$

#usepackage
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

• author: Irene
• filename: Integral_definido_2.txt
• title: Integral definido
• uploaded: Thu Jan 12 11:42:08 WET 2012

#title: Integral definido

#author: Irene

#let:

n b = [1,2,3,4,5,6];

n c = [0,pi/2,pi];

n d = [pi/2,pi,2*pi];

f u = [sin(x), cos(x)];

f v = [-cos(x), sin(x)];

f w = [-cos(#c), sin(#c)];

f z = [-cos(#d), sin(#d)];

f e2 = ratsimp((#b*(#d)^2)/2 -(#b*(#c)^2)/2 + #z - #w);

f def_pi = pi:: %pi;

c ~ d;

u ~ v ~ w ~ z;

#question:

Calcule o integral definido

$$
 \int_{#c}^{#d} (#u+#b x)\, dx.
$$

#sugestion:

Utilize a fórmula ... .

#resolution:


Calculando o integral
$$
 \int_{#d}^{#e} (#u+#b x)\, dx,
$$

obtém-se

$$
 \int_{#d}^{#e} (#u+#b x)\, dx
 = \left[ #v +\frac{#b x^2}{2}\right]_{#c}^{#d}
$$

$$
 = #z + \frac{#b*#d^2}{2} - #w - \frac{#b*#c^2}{2}
 = #e2.
$$


#result:

$$
 \int_{#d}^{#e} (#u+#b x)\, dx
$$
$$
 = #e2.
$$

#usepackage
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

• author: no author set
• filename: C:\Users\irene\Desktop\gexer\Problemas\Gaspar\GaussDim3Tipo2NV.txt
• title: Sistema de tr?s equacoes lineares caso II - Imposs?vel
• uploaded: Sat Nov 19 16:55:39 WET 2011

#Title: Sistema de tr?s equacoes lineares caso II - Imposs?vel

#Let:

n a11 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a12 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a13 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n b1 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a22p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a23p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n b2p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n b3pp = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n m21 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n m31 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n m32 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;


cn a21 = #m21 * #a11 ;

cn a22 = #a22p + #m21 * #a12 ;

cn a23 = #a23p + #m21 * #a13 ;

cn b2 = #b2p + #m21 * #b1 ;



cn a31 = #m31 * #a11 ;


cn a32p = #m32 * #a22p ;

cn a33p = #m32 * #a23p ;

cn b3p = #b3pp + #m32 * #b2p ;



cn a32 = #a32p + #m31 * #a12 ;

cn a33 = #a33p + #m31 * #a13 ;

cn b3 = #b3p + #m31 * #b1 ;



#Question:

\noindent Seja $(S)$ o sistema de equa??es lineares cuja matriz dos coeficientes
? $A=\smleft #a11 & #a12 & #a13 \\ #a21 & #a22 & #a23 \\ #a31 & #a32 & #a33 \smright$ e o vector
dos termos independentes ? $b=\smleft #b1 \\ #b2 \\ #b3 \smright$. Determine $\CS_{(S)}$.
#Suggestion:

\noindent Utilize o M?todo de Gauss.


#Solution:

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
\fbox{#a11} & #a12 & #a13 & #b1 \\
#a21 & #a22 & #a23 & #b2 \\
#a31 & #a32 & #a33 & #b3
\end{array}
\right]
&
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\ell_2\leftarrow\ell_2-(#m21)\ell_1\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m31)\ell_1\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
#a11 & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & \fbox{#a22p} & #a23p & #b2p \\
0 & #a32p & #a33p & #b3p
\end{array}
\right]
\\
&
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m32)\ell_2\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
#a11 & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & #a22p & #a23p & #b2p \\
0 & 0 & 0 & #b3pp
\end{array}
\right]
\end{align*}

Da terceira equa??o conclui-se que o sistema $(S)$ n?o tem solu??es, ou seja, $\CS_$(S)=\emptyset$.


#Result:

\[
\CS_{(S)}=\emptyset
\]

#Verification:

set( \emptyset );

• author: Irene
• filename: Integral_definido_2.txt.76442
• title: Integral definido
• uploaded: Thu Jan 12 13:19:35 WET 2012

#title: Integral definido

#author: Irene

#let:

n b = [1,2,3,4,5,6];

##f def_pi = pi:: %pi;

f c = [0,%pi/2,%pi];

f d = [%pi/2,%pi,2*%pi];

f u = [sin(x), cos(x)];

f v = [-cos(x), sin(x)];

f w = [-cos(#c), sin(#c)];

f z = [-cos(#d), sin(#d)];

f e2 = ratsimp((#b*(#d)^2)/2 -(#b*(#c)^2)/2 + #z - #w);



c ~ d;

u ~ v ~ w ~ z;

#question:

Calcule o integral definido

$$
 \int_{#c}^{#d} (#u+#b x)\, dx.
$$

#sugestion:

Utilize a fórmula ... .

#resolution:


Calculando o integral
$$
 \int_{#c}^{#d} (#u+#b x)\, dx,
$$

obtém-se

$$
 \int_{#c}^{#d} (#u+#b x)\, dx
 = \left[ #v +\frac{#b x^2}{2}\right]_{#c}^{#d}
$$

$$
 = #z + \frac{#b*#d^2}{2} - #w - \frac{#b*#c^2}{2}
 = #e2.
$$


#result:

$$
 \int_{#c}^{#d} (#u+#b x)\, dx
$$
$$
 = #e2.
$$

#usepackage
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

• author: Gaspar
• filename: C:\Users\irene\Desktop\gexer\Problemas\Gaspar\GaussDim3Tipo1.txt
• title: Sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas --- caso PD
• uploaded: Fri Nov 25 15:38:40 WET 2011

#Title: Sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas --- caso PD
#author: Gaspar

#Let:

n x1 = [ 0 , 1  , 2 , -1 , -3 , 5 , 3] ;
n x2 = [ 1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n x3 = [ 1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a11 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a12 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a13 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a22p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a23p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a33pp = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n m21 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n m31 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n m32 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

cn a21 = #m21 * #a11 ;
cn a31 = #m31 * #a11 ;
cn a32p = #m32 * #a22p ;
cn a22 = #a22p + #m21 * #a12 ;
cn a23 = #a23p + #m21 * #a13 ;
cn a33p = #a33pp + #m32 * #a23p ;
cn a33 = #a33p + #m31 * #a13 ;
cn a32 = #a32p + #m31 * #a12 ;

cn b1 = #a11 * #x1 + #a12 * #x2 + #a13 * #x3 ;
cn b2 = #a21 * #x1 + #a22 * #x2 + #a23 * #x3 ;
cn b3 = #a31 * #x1 + #a32 * #x2 + #a33 * #x3 ;

cn b2p = #b2 - #m21 * #b1 ;
cn b3p = #b3 - #m31 * #b1 ;
cn b3pp = #b3p - #m32 * #b2p ;

#Question:

\noindent Seja $(S)$ o sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes
é $A=\smleft #a11 & #a12 & #a13 \\ #a21 & #a22 & #a23 \\ #a31 & #a32 & #a33 \smright$ e o vector
dos termos independentes é $b=\smleft #b1 \\ #b2 \\ #b3 \smright$. Determine $\CS_{(S)}$.

#Sugestion:

\noindent Utilize o Método de Gauss.


#resolution:

$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
\fbox{#a11}  & #a12 & #a13 & #b1 \\
 #a21 & #a22 & #a23 & #b2 \\
 #a31 & #a32 & #a33 & #b3
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\ell_2\leftarrow\ell_2-(#m21)\ell_1\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m31)\ell_1\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
 #a11  & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & \fbox{#a22p} & #a23p & #b2p \\
0 & #a32p & #a33p & #b3p
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m32)\ell_2\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
 #a11  & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & #a22p & #a23p & #b2p \\
0 & 0 & #a33pp & #b3pp
\end{array}
\right]
$

Assim, tem-se:

\begin{gather*}
x_3=\frac{#b3pp}{#a33pp}=#x3\\
x_2=\frac{#b2p-#a23p\times#x3}{#a22p}=#x2\\
x_1=\frac{#b1-#a12\times#x2-#a13\times#x3}{#a11}=#x1
\end{gather*}

#Result:

$CS_{(S)}=\{(#x1,#x2,#x3)\}$


#Verification:

vector(#x1, #x2, #x3) ;

#usepackage

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{extarrows}
\makeatletter
% smallmatrix with right alignment
\newenvironment{rsmallmatrix}{\null\,\vcenter\bgroup
  \Let@\restore@math@cr\default@tag
  \baselineskip6\ex@ \lineskip1.5\ex@ \lineskiplimit\lineskip
  \ialign\bgroup\hfil$\m@th\scriptstyle##$&&\thickspace\hfil
  $\m@th\scriptstyle##$\crcr
}{%
  \crcr\egroup\egroup\,%
}
\makeatother

\newcommand{\smleft}{\left[\begin{rsmallmatrix}}
\newcommand{\smright}{\end{rsmallmatrix}\right]}
\DeclareMathOperator{\CS}{CS}

• author: Irene
• filename: CL_vetores_1.txt
• title: Combinação linear - vetores
• uploaded: Fri Dec 2 12:51:08 WET 2011

#title: Combinação linear - vetores

#author: Irene

#let:


n a =[-3,-2,0,1];
n b =[2,4];
n c =[-2,2,3];
n n31 = 2*(#a+2*#b);
n d31 =1-#a*#b;

f gn =ratsimp(1 - #n31/#d31);
f gd =ratsimp(#c + 6*#b/#d31);
f g =ratsimp(#gn/#gd);

n bn = #a + 2 * #b + 3 * #b * #g;

f beta =ratsimp(#bn/#d31);

n al1 = - 2 - 3 * #g - #a * #beta;

n al11 = #a * #beta;

f al= ratsimp( - 2 - 3 * #g - #al11);


#question:

Escreva o vetor $x=(-2,#a,1) \in R^3$ como combinação linear
dos vetores $x_1=(1,#b,0)$, $x_2=(#a,1,2)$ e $x_3=(3,0,#c)$ de
$R^3.$


#sugestion:


O vetor $x$ pode ser escrito como combinação linear dos vetores
$x_1$, $x_2$ e $x_3$, se

$$\exists\alpha,\beta,\gamma\in
R: x=\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3.$$ Assimn, o sistema de
equações lineares dado por
$$ (-2,#a,1) = \alpha (1,#b,0)+\beta
(#a,1,2)+\gamma(3,0,#c)$$
tem que ser possível.






#resolution:

Resolvendo o sistema de equações lineares

$$(-2,#a,1)=\alpha (1,#b,0)+\beta (#a,1,2)+\gamma (3,0,#c)$$

pelo método de Gauss, obtém-se

$$\gamma=\frac{1-\frac{2(#a+2#b)}{1-#a#b}}{#c+\frac{6#b}{1-#a#b}}=#g,$$

$$\beta=\frac{#a+2#b+3#b\gamma}{1-#a#b}=#beta,$$

$$\alpha=-2-3\gamma-#a\beta=#al.$$







#result:

$$\alpha=#al,$$
$$\beta=#beta,$$
$$\gamma=#g.$$


#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: C:\Users\irene\Desktop\gexer\Problemas\Rui\integracao_fracoes_racionais_tipo1.txt
• title: C:\Users\irene\Desktop\gexer\Problemas\Rui\integracao_fracoes_racionais_tipo1.txt
• uploaded: Thu Nov 24 13:18:41 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o para $P \frac{constante}{(x-a)(x-b)}$
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:
f k = [ 1 ,2, 3, 4,5,6,7,8,9,10] ;
f a=[1,2,3,4,5];
f b=[6, 7, 8, 9, 10];
f den=expand((x-#a)*(x-#b));
f enun= ratsimp(#k/#den);
#res=integrate(#enum);
#Question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int #enun \,dx.
$$
#Sugestion:

\noindent Calcule os zeros do denominador: a e b. De seguida resolva os sistema de equações lineares resultante da igualdade:
$$
#enun=\frac{k1}{x-a}+\frac{k2}{x-b}.
$$
ent\~{a}o, o integral a resolver passa a ser:

$$
\int \enun,\ dx= \int \frac{k1}{x-a} dx+\int \frac{k2}{x-b} dx
$$

Para chegar ao resultado final, aplica-se a regra do logaritmo a cada uma das parcelas acima.

#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun dx= #res+C.
$$
#result
$$ #res+C $$

• author: Gaspar
• filename: GaussDim3Tipo1.txt
• title: Sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas --- caso PD
• uploaded: Fri Nov 25 15:56:21 WET 2011

#Title: Sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas --- caso PD
#author: Gaspar

#Let:

n x1 = [ 0 , 1  , 2 , -1 , -3 , 5 , 3] ;
n x2 = [ 1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n x3 = [ 1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a11 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a12 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a13 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a22p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n a23p = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n a33pp = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

n m21 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n m31 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;
n m32 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

cn a21 = #m21 * #a11 ;
cn a31 = #m31 * #a11 ;
cn a32p = #m32 * #a22p ;
cn a22 = #a22p + #m21 * #a12 ;
cn a23 = #a23p + #m21 * #a13 ;
cn a33p = #a33pp + #m32 * #a23p ;
cn a33 = #a33p + #m31 * #a13 ;
cn a32 = #a32p + #m31 * #a12 ;

cn b1 = #a11 * #x1 + #a12 * #x2 + #a13 * #x3 ;
cn b2 = #a21 * #x1 + #a22 * #x2 + #a23 * #x3 ;
cn b3 = #a31 * #x1 + #a32 * #x2 + #a33 * #x3 ;

cn b2p = #b2 - #m21 * #b1 ;
cn b3p = #b3 - #m31 * #b1 ;
cn b3pp = #b3p - #m32 * #b2p ;

#Question:

\noindent Seja $(S)$ o sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes
é $A=\smleft #a11 & #a12 & #a13 \\ #a21 & #a22 & #a23 \\ #a31 & #a32 & #a33 \smright$ e o vector
dos termos independentes é $b=\smleft #b1 \\ #b2 \\ #b3 \smright$. Determine $\CS_{(S)}$.

#Sugestion:

\noindent Utilize o Método de Gauss.


#resolution:

$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
\fbox{#a11}  & #a12 & #a13 & #b1 \\
 #a21 & #a22 & #a23 & #b2 \\
 #a31 & #a32 & #a33 & #b3
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\ell_2\leftarrow\ell_2-(#m21)\ell_1\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m31)\ell_1\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
 #a11  & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & \fbox{#a22p} & #a23p & #b2p \\
0 & #a32p & #a33p & #b3p
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
\xlongleftrightarrow{\hspace{2.2cm}}\\
\\
\ell_3\leftarrow\ell_3-(#m32)\ell_2\\
\end{array}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
 #a11  & #a12 & #a13 & #b1 \\
0 & #a22p & #a23p & #b2p \\
0 & 0 & #a33pp & #b3pp
\end{array}
\right]
$

Assim, tem-se:

\begin{gather*}
x_3=\frac{#b3pp}{#a33pp}=#x3\\
x_2=\frac{#b2p-#a23p\times#x3}{#a22p}=#x2\\
x_1=\frac{#b1-#a12\times#x2-#a13\times#x3}{#a11}=#x1
\end{gather*}

#Result:

$CS_{(S)}=\{(#x1,#x2,#x3)\}$


#Verification:

vector(#x1, #x2, #x3) ;

#usepackage

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{extarrows}
\makeatletter
% smallmatrix with right alignment
\newenvironment{rsmallmatrix}{\null\,\vcenter\bgroup
  \Let@\restore@math@cr\default@tag
  \baselineskip6\ex@ \lineskip1.5\ex@ \lineskiplimit\lineskip
  \ialign\bgroup\hfil$\m@th\scriptstyle##$&&\thickspace\hfil
  $\m@th\scriptstyle##$\crcr
}{%
  \crcr\egroup\egroup\,%
}
\makeatother

\newcommand{\smleft}{\left[\begin{rsmallmatrix}}
\newcommand{\smright}{\end{rsmallmatrix}\right]}
\DeclareMathOperator{\CS}{CS}

• author: Irene
• filename: IL_polinomios.txt
• title: IL_polinomios.txt
• uploaded: Thu Dec 1 17:17:47 WET 2011

#title:Independência linear - polinómios
#author: Irene

#Let:

n a = [-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
n b = [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
n c = [-3,-2,1,2,3,4,5];
n d = [6,7,8,9];

n s  = #a * #d;

f r= ratsimp(#s/#c)


#Question:

Indique para que valores de $\beta$ os polinómios $p_{1}(x)=#a x+\beta$ e 
$p_{2}(x)=#c x+#d$ de $R_{1}[x]$ são linearmente independentes.

#Sugestion:

Os polinómios $p_{1}$ e $p_{2}$ são linearmente independentes se

$\forall \alpha_{1},\alpha_{2} \in R:\alpha_{1} p_{1} + \alpha_{2} p_{2} = 0 \Rightarrow \alpha_{1} = \alpha_{2} = 0.$


#Resolution:

O sistema de equações lineares
$$
\left\{
\begin{array}{ccccl}
\beta \alpha_{1} & + & #d \alpha_{2} & = & 0\\ 
  #a \alpha_{1} & + & #c \alpha_{2} & = & 0
\end{array}
\right.
$$ 
tem que ser possível e determinado para que $p_{1}$ e $p_{2}$ sejam linearmente independentes. Assim, tem-se que

$$
\beta \in R\backslash \left\{#r\right\}.
$$


#Result:

$$
\beta \in R\backslash \left\{#r\right\}.
$$


#Verify:

$$
\beta \in R\backslash \left\{#r\right\}.
$$

#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

• author: Smirnov
• filename: Dominios_Tikz_4.txt
• title: Domínio de função
• uploaded: Wed Jan 18 10:50:42 WET 2012

#title: Domínio de função

#author: Smirnov




#let:

n a = [1,2,3,4];
n b = [-1,1,-2,2,-3,3,-4,4];
n c = [-1,1,-2,2,-3,3,-4,4];


f F1 = [sqrt(z), sqrt(-z), log(z), log(-z), 1/z, 1/sqrt(z), 1/sqrt(-z)];

s S = [\geq, \leq, >, <, \neq, >, <];



f D0  = [ #a^2-(x+#b)^2-(y+#c)^2];
f D1 = ratsimp(#D0);


f d = ratsimp(-#b);

f e = ratsimp(-#c);


f aux1 = [F(z) := #F1];

f G  = ratsimp(F(#D1));


fig1 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};




fig2 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



fig3 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture}  }};



fig4 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig5 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\draw[style=dashed,color=white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig6 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig7 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



Gr = [#fig1, #fig2, #fig3, #fig4, #fig5, #fig6, #fig7];

F1~S~Gr;


#question:

\noindent Determine  e represente geometricamente o domínio da função $f(x,y)=#G$.


#sugestion:


#resolution:






#result:
$$
 {\rm dom} f = \{ (x,y) \mid  #D0 #S 0\}.
$$


$$
 #Gr
$$


A área azul representa o domínio da função.


#Verification:


#usepackage:
 
\usepackage{tikz} 

• author: Smirnov, Irene
• filename: Exercicio_3_B.txt
• title: Exercício 3 B
• uploaded: Thu Jan 19 11:50:19 WET 2012

#title: Exercício 3 B

#author: Smirnov, Irene

#let:

n A = [2,3,4,5,6];
n B = [4,9,16,25,36];
n K = [2,3,4,5,6];
n L = [2,3,4,5,6];
n K1 = [1,2,3];
n L1 = [1,2,3];
n N = #K+#K1; 
n M = #L+#L1;
n K2 = 2*#K;
n K3 = 2*#K1;
n L2 = 2*#L;
n L3 = 2*#L1;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^(2*#K)+#B*y^(2*#L);
f g1 = x^(2*#N);
f g2 = y^(2*#M);



#question:

\noindent Considere a função $f(x,y)$ definida por

$$
 f(x,y)=\frac{#g}{#h},
$$
se $#h \neq (0,0)$ e $f(x,y)=0$ se $#h = 0$.
 
1) Estude a continuidade da função $f(x,y)$;

2) Determine a expressão de $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$.




#sugestion:

Utilize a desigualdade $ab\leq(a^2+b^2)/2$ para estudar a continuidade em $(0,0)$.

#resolution:

1)

A função $f$ é contínua em $R^{2} \backslash \{(0,0)\}$ por ser o quociente de duas funções polinomiais que são contínuas.

A continuidade de $f$ no ponto $(0,0)$ pode ser estudada, verificando se 
$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$.
O que se conlcui, é que o limite duplo  existe e é igual a zero e, assim, a função é contínua em $(0,0)$. De fato, temos
$$
 \left|\frac{#g}{#h}\right|
 \leq \frac{1}{2}
 \left(\frac{#g1+#g2}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}x^{#K2}+y^{#L3}y^{#L2}}{#h}\right)
 \leq \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}(x^{#K2}+y^{#L2})
 +y^{#L3}(x^{#K2}+y^{#L2})}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{(x^{#K3}+y^{#L3})(x^{#K2}+y^{#L2})
 }{#h}\right)
 \leq x^{#K3}+y^{#L3}\rightarrow 0,\;\; {\rm quando}\;\; (x,y)\rightarrow (0,0).
$$
Logo, a função $f$ é contínua em $R^2$.
   

2)



Calculando $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ obtém-se:
$$
 \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } = \frac{ #M x^{#N} y^{#M -1} (#h) + 2 (#g) #L y^{2 #L - 1} #B}{ (#h)^{2} }.
$$



#result:

#verification:

• author: Irene
• filename: Regra_de_Kramer_1.txt
• title: Regra de Kramer
• uploaded: Mon Nov 21 16:19:09 WET 2011

#title: Regra de Kramer
#author: Irene

#Let:

a=[ 1,2,3,4] ;
b=[5,6,7,8,9];
e=[ 1,2,3,4] ;
d=[5,6,7,8,9];
c=[-1,-2,-3,1,2,3];
f=[-1,-2,-3,1,2,3];

detA=#a*#e-#b*#d;
N1=#c*#e-#b*#f;
N2=#a*#f-#c*#d;

n jjdetA=#a * #e - #b * #d;
n jjN1=#c * #e - #b * #f;
n jjN2=#a * #f - #c * #d;


x11=\frac{#N1}{#detA};
x22=\frac{#N2}{#detA};
 
n jjx11=#jjN1 / #jjdetA ;
n jjx22=#jjN2 / #jjdetA ;
   

#question:

\noindent Determine a solução do seguinte sistema pela Regra de Kramer

\begin{eqnarray*} 
 #a x_1 + #b x_2 &=& #c,\\ 
 #d x_1 + #e x_2 &=& #f.
\end{eqnarray*}


#sugestion:

\noindent Considerando o sistema $Ax=b$, a solução pode ser calculada pela Regra de Kramer da forma $x_j=\frac{det C_j}{det A},$ em que $C_j$ é a matriz que se obtém de $A$ substituindo a coluna $j$ de $A$ pela matriz coluna $b$. 

#resolution

\noindent Utilizando a fórmula $x_j=\frac{det C_j}{det A},$ obtém-se
 $$
x_1 = \frac{#N1}{#detA} 
$$
e 
$$
x_2 = \frac{#N2}{#detA}.
$$

ou alternativamente:

$$
x_1 = \frac{#jjN1}{#jjdetA} = #jjx11
$$
e
$$
x_2 = \frac{#jjN2}{#jjdetA} = #jjx22.
$$

#Result:

$$
x_1 = \frac{#jjN1}{#jjdetA} 
$$

$$
x_2 = \frac{#jjN2}{#jjdetA}
$$

 #jjx11
 
 #jjx22

#Verify:

 #x11
 
 #x22



 Verify:

 \frac{#N1}{#detA} 

 \frac{#N2}{#detA}

#usepackage

\usepackage{amsmath,amssymb}

• author: Irene
• filename: C:\Users\irene\Desktop\gexter\Problemas\Regra_de_Kramer_1.txt
• title: Regra de Kramer
• uploaded: Wed Nov 16 21:37:16 WET 2011


#title: Regra de Kramer
#author: Irene

#Let:

a=[ 1,2,3,4] ;
b=[5,6,7,8,9];
e=[ 1,2,3,4] ;
d=[5,6,7,8,9];
c=[-1,-2,-3,1,2,3];
f=[-1,-2,-3,1,2,3];

detA=#a*#e-#b*#d;
N1=#c*#e-#b*#f;
N2=#a*#f-#c*#d;

n jjdetA=#a*#e-#b*#d;
n jjN1=#c*#e-#b*#f;
n jjN2=#a*#f-#c*#d;


x11=\frac{#N1}{#detA};
x22=\frac{#N2}{#detA};
 
n jjx11=#N1 / #detA ;
n jjx22=#N2 / #detA ;
   

#Question:

\noindent Determine a solução do seguinte sistema pela Regra de Kramer

\begin{eqnarray*} 
 #a x_1 + #b x_2 &=& #c,\\ 
 #d x_1 + #e x_2 &=& #f.
\end{eqnarray*}


#Sugestion:

\noindent Considerando o sistema $Ax=b$, a solução pode ser calculada pela Regra de Kramer da forma $x_j=\frac{det C_j}{det A},$ em que $C_j$ é a matriz que se obtém de $A$ substituindo a coluna $j$ de $A$ pela matriz coluna $b$. 

#Resolution

\noindent Utilizando a fórmula $x_j=\frac{det C_j}{det A},$ obtém-se
 $$
x_1 = \frac{#N1}{#detA} 
$$
e 
$$
x_2 = \frac{#N2}{#detA}.
$$

ou alternativamente:

$$
x_1 = \frac{#jjN1}{#jjdetA} = #jjx11
$$
e
$$
x_2 = \frac{#jjN2}{#jjdetA} = #jjx22.
$$

#Result:

$$
x_1 = \frac{#jjN1}{#jjdetA} 
$$

$$
x_2 = \frac{#jjN2}{#jjdetA}
$$

 #jjx11
 
 #jjx22

#Verify:

 #x11
 
 #x22



 Verify:

 \frac{#N1}{#detA} 

 \frac{#N2}{#detA}

• author: Smirnov, Irene
• filename: Exercicio_3_A.txt
• title: Exercício 3 A
• uploaded: Thu Jan 19 11:51:35 WET 2012

#title: Exercício 3 A

#author: Smirnov, Irene

#let:

n A = [2,3,4,5,6];
n B = [4,9,16,25,36];
n M = [2,3,4,5,6];
n Nb = [2,3,4,5,6];
n b = [1,2,3];
n L = #M + #Nb;
n N = #Nb*#b; 
n K = #N + #b*#M;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^#K + #B*y^#L;
f xb = x^#b;

#question:

\noindent Considere a função $f(x,y)$ definida por

$$
 f(x,y)=\frac{#g}{#h},
$$
se $#h \neq (0,0)$ e $f(x,y)=0$ se $#h = 0$.

 
1) Estude a continuidade da função $f(x,y)$;

2) Determine a expressão de $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$.

#sugestion:


#resolution:


1) 

A função $f$ é contínua em $R^{2} \backslash \{(0,0)\}$ por ser o quociente de duas funções polinomiais que são contínuas.

A continuidade de $f$ no ponto $(0,0)$ pode ser estudada, verificando se $ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$.
O que se conlcui, é que o limite duplo não existe. De fato, consideremos $y=\alpha #xb$. Então temos

$$
 f(x,\alpha x^#b)=\frac{ \alpha^{#M} }{ #A + #B \alpha^{#L} }.
$$

Portanto o limite da função $f$ ao longo da curva $y=\alpha x^#b$ depende do valor do parâmetro $\alpha$. Logo o limite duplo não existe e, assim, a função não é contínua em $(0,0)$.


2)

Calculando $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ para $(x,y) \in R^{2} \backslash \{(0,0)\},$ obtém-se:
$$
 \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } = \frac{ #M x^{#N} y^{#M -1} (#h) + (#g) (#L) y^{#L - 1} #B}{ (#h)^{2} }.
$$


Para $(x,y) = (0,0)$, a derivada parcial calcula-se da seguinte forma:
$$
 \frac{\partial f(0,0) }{ \partial y } = \lim_{ k\rightarrow 0} \frac{ f(0,k)-f(0,0) }{k} = 0.
$$







#result:

#verification:


#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} 

• author: Irene
• filename: c l Matrizes.txt
• title: Combinação linear - matrizes
• uploaded: Mon Nov 21 18:13:38 WET 2011

#title: Combinação linear - matrizes

#author: Irene

#let:

n  a =[1,2,3,4,5,6,7,8,9];
n  b =[1,2,3,4,5,6,7,8,9];
n  c =[5,6,7,8,9];
n  d =[1,2,3,4];
n  e =[5,6,7,8,9];
n  f =[1,2,3,4];

n  o =#f-#a*#e;
n  u =#d-#a*#c;
n  o1 =#o*#b*#c;
n  o2 =#b*#e;


#question:
Indique para que valores de $\alpha$ e $\beta$ a matriz $A=\begin{bmatrix} #e& #f\\ \alpha&\beta\end{bmatrix}$ pode ser escrita como combinação linear de $B=\begin{bmatrix} 1&#a\\0& #b\end{bmatrix}$  e $C=\begin{bmatrix} #c& #d\\1& 0\end{bmatrix}.$





#sugestion:

$A$ é combinação linear de $B$ e $C$ se
$$\exists\alpha_1,\alpha_2\in\mathds{R}: A=\alpha_1 B+\alpha_2 C.$$


#resolution:

O sistema linear $A=\alpha_1 B+\alpha_2 C$ tem que ser possível. Assim, analisando o sistema aplicando o método de Gauss conclui-se que
$$#f-#a*#e-\alpha(#d-#a*#c)=0$$
e
$$\beta-#b*#e+\alpha*#b*#e=0.$$
Resolvendo a primeira equação em ordem a $\alpha$ obtém-se
$$
\alpha=\frac{#o}{#u}.
$$
Substituindo esta expressão na segunda equação e resolvendo depois em ordem a $\beta$ obtém-se
$$
\beta=#o2-\frac{#o1}{#u}.
$$



#result:
$$
\alpha=\frac{#o}{#u}
$$

$$
\beta=#o2-\frac{#o1}{#u}
$$



#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} 

• author: Irene
• filename: CL_Matrizes.txt
• title: Combinação linear - matrizes
• uploaded: Thu Dec 1 17:16:56 WET 2011

#title: Combinação linear - matrizes

#author: Irene

#let:

n  a =[1,2,3,4];
n  b =[1,2,3,4];
n  c =[5,6,7,8,9];
n  d =[1,2,3,4];
n  e =[5,6,7,8,9];
n  f =[1,2,3,4];

n  o =#f-#a*#e;
n  u =#d-#a*#c;
n  o1 =#o*#b*#c;
n  o2 =#b*#e;

f al= ratsimp(#o/#u);
f be=ratsimp(#o2-(#o1/#u));



#question:
Indique para que valores de $\alpha$ e $\beta$ a matriz $A=\begin{bmatrix} #e& #f\\ \alpha&\beta\end{bmatrix}$ pode ser escrita como combinação linear de $B=\begin{bmatrix} 1&#a\\0& #b\end{bmatrix}$  e $C=\begin{bmatrix} #c& #d\\1& 0\end{bmatrix}.$





#sugestion:

$A$ é combinação linear de $B$ e $C$ se
$$\exists\alpha_1,\alpha_2\in\; R: A=\alpha_1 B+\alpha_2 C.$$


#resolution:

O sistema linear $A=\alpha_1 B+\alpha_2 C$ tem que ser possível. Assim, analisando o sistema aplicando o método de Gauss conclui-se que
$$#f-#a#e-\alpha(#d-#a#c)=0$$
e
$$\beta-#b#e+\alpha#b#e=0.$$
Resolvendo a primeira equação em ordem a $\alpha$ obtém-se
$$
\alpha=\frac{#o}{#u}=#al.
$$
Substituindo esta expressão na segunda equação e resolvendo depois em ordem a $\beta$ obtém-se
$$
\beta=#o2-\frac{#o1}{#u}=#be.
$$



#result:
$$
\alpha=#al
$$

$$
\beta=#be
$$



#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} 

• author: jj
• filename: gnuplot1.txt.5175
• title: Grafico de funções 2
• uploaded: Mon Jan 23 15:07:33 WET 2012

#title: Grafico de funções 2
#author: jj 
#Obs: ListPerl, importcol, import ls, import file, num/str
#let:

fun[4]= [ x/(1.2+sin(x)), sin(x)/x , x**2, -x**2 , sin(x), cos(x), x**3, x*sin(x) ]; 
f f   = [ #fun[0], #fun[1], #fun[2], #fun[3] ];
r     = [ 1,2,3,4];
  r ~ f ;

#usepackages
\usepackage{graphicx}

#question:
Qual destes gráficos corresponde à função $#f$?

\begin{import_gnuplot}[width=0.3\textwidth]
set ylabel "f1"
set xlabel "x"
set nokey
plot  #fun[0]
\end{import_gnuplot}


\begin{import_gnuplot}[width=0.3\textwidth]
set ylabel "f1"
set xlabel "x"
set nokey
plot  #fun[1]
\end{import_gnuplot}

#sugestion:
#resolution:
#result:
#Verify:

• author: Smirnov
• filename: xxx
• title: experiencias com exp
• uploaded: Mon Nov 21 11:00:14 WET 2011

#title: experiencias com exp

#author: Smirnov

#let:

f stupid = e :: %e ;

f P = [ (%e)^x] ;

f jj1 = [exp(x),2*exp(x)];

f jj2 = #jj1 + #jj1;

f jj3 = 1+diff(#jj1 , x , 1);

f U  = [ x  ] ;

f dP = diff(#P,x);
f ddP = diff(#P,x,2);
f dU = diff(#U,x,1);
f ddU = diff(#U,x,2);


f V = #dP / #dU;
f dV = diff(#V,x,1);
f UdV = #U*#dV; 
f VdU =#V*#dU;
f UV = #U*#V ;

f SUdV = logcontract(ratsimp(#UdV));
f SUV = logcontract(ratsimp(#UV));
f SVdU = logcontract(ratsimp(#VdU));

f SUVP = #SUV - #P; 

#question:

jj: $ #jj1 $ ou então $ #jj2 $; diff = $#jj3$;

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #SUdV dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Fazendo
$$
u=#U
$$
e
$$
v=#V
$$
e utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu,
$$
obtemos
$$
\int #SUdV dx
$$
$$
 =#SUV-\int #SVdU dx
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$



#result:

$$
\int #SUdV dx 
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$


#Verification:

f (#SUV+C);

• author: jj
• filename: animais2
• title: Língua PT simples (2) ou mais
• uploaded: Mon Nov 21 16:16:46 WET 2011

#title: Língua PT simples (2) ou mais
#author: jj
#let:

b[6] ~ c[6] = importcols(femea.tab);

#question:

e

Qual a femea do #b[0]?\\
Qual a femea do #b[1]?\\
Qual o macho da #c[2]?\\
Qual a femea do #c[3]?\\
Qual a femea do #c[4]?\\
Qual a femea do #c[5]?\\

#sugestion:
 Consultar o dicionário... 
#resolution:
 
#result:
 
 #b[0]  → #c[0]\\
 #b[1]  → #c[1]\\
 #c[2]  → #b[2]\\
 #c[3]  → #b[3]\\
 #c[4]  → #b[4]\\
 #c[5]  → #b[5]\\
 
#Verify:

#Obs: multi-valor, colunas, files externas, a \~{} b = importcol(file)

• author: Smirnov
• filename: DFC2.txt
• title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis
• uploaded: Mon Jan 23 15:45:17 WET 2012

#title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f F = [e^u, sin(u), cos(u), tan(u), atan(u)];
f aux1 = [FF(u):=#F];
f G = [v^2, v^3, sqrt(v), log(v)];
f aux2 = [GG(v):=#G];
f aux3 = [H(u,v):=FF(u)*GG(v)];
f u1 = [x^2+y^3, sqrt(x)+y, sqrt(x+y)];
f aux4 = [u2(x,y):=#u1];
f v1 = [x+y^4, sqrt(x)+y^3, sqrt(x^2+3*y)];
f aux5 = [v2(x,y):=#v1];
f HH = H(u2(x,y),v2(x,y));
f DD = diff(#HH,x,1,y,1);

#question:

\noindent Seja $f(x,y)=#HH$. Calcule a derivada parcial $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$.

#sugestion:



#resolution:  Utilizando regra de cadeia obtemos
$$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = #DD .
$$


#result:


#Verification:

• author: Smirnov
• filename: aço.txt
• title: Integra\c c\~ao por partes
• uploaded: Mon Nov 28 18:37:58 WET 2011

#title: Integra\c c\~ao por partes

#author: Smirnov

#let:

f P = [ x^2*sin(x)  , x*cos(x) , x^3*exp(x)] ;
f dP= [ 2*x*sin(x)+x^2*cos(x), cos(x)-x*sin(x), 3*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f ddP= [ 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x), -2*sin(x)-x*cos(x),
6*x*exp(x)+6*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f U  = [ x^2 , x^3 , x^4 ] ;
f dU = [ 2*x , 3*x^2 , 4*x^3 ] ;
f ddU = [ 2 , 6*x , 12*x^2 ] ;

P~dP~ddP;
U~dU~ddU;

cf V = #dP / #dU;
cf dV = (#dU*#ddP - #dP*#ddU)/(#dU)^2;

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #U*#dV dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 =#U #V-\int #V #dU dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$

#result:

$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$


#Verification:

f (#U*#V+C);

• author: no author set
• aux: 1
• filename: femea.tab
• title: no title set
• uploaded: Tue Nov 15 17:47:35 WET 2011

leão : leoa
cão : cadela
cavalo : égua
boi : vaca
zangão: abelha
galo:galinha
carneiro:ovelha
bode:cabra
peru:perua
tubarão:tubarona?
carapau:carapá?
coelho:coelha

• author: jj
• filename: animais4
• title: Língua PT simples (4)
• uploaded: Tue Nov 15 18:05:28 WET 2011

#title: Língua PT simples (4)
#author: jj
#let:

a           = sectionlines(animais);
c[6] ~ b[6] = sectioncols(femeas);

#question:

Afinal o #a existe ou não\\
Qual a femea do #b[0]?\\
Qual a femea do #b[1]?\\
Qual a femea do #b[2]?\\
Qual o macho da #c[3]?\\
Qual o macho da #c[4]?\\
Qual o macho da #c[5]?\\

#sugestion:
 Consultar o dicionário... ou visitar a arca de Noé
#resolution:
 
#result:

 #a \\
 #c[0]\\
 #c[1]\\
 #c[2]\\
 #b[3]\\
 #b[4]\\
 #b[5]\\
 
#Verify:

#Obs: multi-valor; files internas: funções sectionlines, sectioncols

#femeas
galo:galinha
pato:pata
pavão:pavoa
bode:cabra
carneiro:ovelha
leão:leoa
boi:vaca
zangão:abelha
homem:mulher
cavalo:égua
porco:porca


#animais
narval
diabo da Tasmânia
colibri
piopardo
bufalante
gambuzino

• author: Smirnov
• filename: aco.txt
• title: Integração por partes
• uploaded: Mon Nov 28 18:48:12 WET 2011

#title: Integração por partes

#author: Smirnov

#let:

f P = [ x^2*sin(x)  , x*cos(x) , x^3*exp(x)] ;
f dP= [ 2*x*sin(x)+x^2*cos(x), cos(x)-x*sin(x), 3*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f ddP= [ 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x), -2*sin(x)-x*cos(x),
6*x*exp(x)+6*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f U  = [ x^2 , x^3 , x^4 ] ;
f dU = [ 2*x , 3*x^2 , 4*x^3 ] ;
f ddU = [ 2 , 6*x , 12*x^2 ] ;

P~dP~ddP;
U~dU~ddU;

cf V = #dP / #dU;
cf dV = (#dU*#ddP - #dP*#ddU)/(#dU)^2;

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #U*#dV dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 =#U #V-\int #V #dU dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$

#result:

$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$


#Verification:

f (#U*#V+C);

• author: Smirnov
• filename: yyy
• title: Integração por partes
• uploaded: Sun Nov 20 17:54:49 WET 2011

#title: Integração por partes

#author: Smirnov

#let:

f P = [ x^2*sin(x)  , x*cos(x) , x^3*exp(x)] ;
f dP= [ 2*x*sin(x)+x^2*cos(x), cos(x)-x*sin(x), 3*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f ddP= [ 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x), -2*sin(x)-x*cos(x),
6*x*exp(x)+6*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ;
f U  = [ x^2 , x^3 , x^4 ] ;
f dU = [ 2*x , 3*x^2 , 4*x^3 ] ;
f ddU = [ 2 , 6*x , 12*x^2 ] ;

P~dP~ddP;
U~dU~ddU;

f V = #dP / #dU;
f dV = (#dU*#ddP - #dP*#ddU)/(#dU)^2;

f enun =  radsimp( #U*#dV );

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #U*#dV dx.
$$

$$
\int #enun dx.
$$

#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 =#U #V-\int #V #dU dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$

#result:

$$
\int #U*#dV dx
$$
$$
 = #U #V - #P + C.
$$


#Verification:

f (#U*#V+C);

• author: Smirnov (com ajuda preciosa da Irene e do João)
• filename: smi1.txt
• title: Integração por partes 1
• uploaded: Mon Nov 21 16:22:53 WET 2011

#title: Integração por partes 1

#author: Smirnov (com ajuda preciosa da Irene e do João)

#let:

f stupid_def = e :: %e ;

n n = {[1..10]};
f P = [ -sin(#n * x), -cos(#n*x), e^(#n*x)] ;
f U  = [ x  ] ;

f dP = diff(#P,x);
f ddP = diff(#P,x,2);
f dU = diff(#U,x,1);
f ddU = diff(#U,x,2);


f V = #dP / #dU;
f dV = diff(#V,x,1);
f UdV = #U*#dV; 
f VdU =#V*#dU;
f UV = #U*#V ;

f SUdV = ratsimp(#UdV);
f SUV = ratsimp(#UV);
f SVdU = ratsimp(#VdU);

f SUVP = #SUV - #P; 

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #SUdV dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Fazendo
$$
u=#U
$$
e
$$
v=#V
$$
e utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu,
$$
obtemos
$$
\int #SUdV dx
$$
$$
 =#SUV-\int #SVdU dx
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$



#result:

$$
\int #SUdV dx 
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$


#Verification:

f (#SUV+C);

• author: jj
• filename: gnuplot1.txt
• title: Exercício tipo infantil
• uploaded: Wed Jan 11 16:44:06 WET 2012

#title: Exercício tipo infantil
#author: jj 
#Obs: ListPerl, importcol, import ls, import file, num/str
#let:

fun[4]= [ x/(1.2+sin(x)), sin(x)/x , x**2, -x**2 , sin(x), cos(x), x**3, x*sin(x) ]; 
f f   = [ #fun[0], #fun[1], #fun[2], #fun[3] ];
r     = [ 1,2,3,4];
  r ~ f ;

#usepackages
\usepackage{graphicx}

#question:
Qual destes gráficos corresponde à função $#f$?

\begin{import_gnuplot}[width=0.3\textwidth]
set ylabel "f1"
set xlabel "x"
set nokey
plot  #fun[0]
\end{import_gnuplot}

#sugestion:
#resolution:
#result:
#Verify:

• author: Cláudia
• filename: Tikz.txt
• title: Sintaxe Tikz
• uploaded: Sat Nov 26 16:51:25 WET 2011

#Title: Sintaxe Tikz
#author: Cláudia

#Let:
n m=[-0.5, 0.5, -1, 1];
n b=[-1, 0, 1];

#Question:

Caminhos abertos e fechados 
%Coordenadas cartesianas: unidade = 1cm

\begin{tikzpicture}
\draw (-0.2,0) -- (-0.2,1.4) -- (1.2,0);
\draw (0,0) -- (0,1) -- (1,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Coordenadas polares
%é necessário indicar as unidades

\begin{tikzpicture}
\draw (0:1cm) -- (60:1cm) -- (120:1cm) -- (180:1cm) -- (240:1cm) -- (300:1cm) -- (360:1cm) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Rectângulo e círculo

% Definir pontos para usar mais tarde
\begin{tikzpicture}
\path (0,0) coordinate (origem);
\path (-1,-1) coordinate (P0);
\path (1,1) coordinate (P1);
\draw (P0) rectangle (P1);
\draw (origem) circle (1cm);
\end{tikzpicture}

Arcos

\begin{tikzpicture}
\path (0,0) coordinate (P1);
\path (1,1) coordinate (P2);
\draw(P1) arc(0:90:1cm);
\draw(P2) arc(90:180:1cm);
\end{tikzpicture}

Plots e labels

\begin{tikzpicture}[domain=-2:2]
% Sistema de eixos
    \draw [->,thick] (0,-3) -- (0,3) node [above] {$y$};
    \draw [->,thick] (-2,0) -- (2,0) node [right] {$x$};
% Funçaõ afim, m e b sorteados
\draw plot (\x,#m*\x+#b);
\end{tikzpicture}

Escalas

\begin{tikzpicture}
%\draw[step=0.25cm] (-1,-1) grid (1,1);
\draw (0,0) circle (1cm);
\filldraw[fill=black] (-0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0,0.3) -- (0.15,-0.15) --(-0.15,-0.15) -- cycle;
\draw (-0.45,-0.35) arc(205:335:0.5cm);
\draw (-0.45,-0.35) -- (0.45,-0.35);
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
%\draw[step=0.25cm] (-1,-1) grid (1,1);
\draw (0,0) circle (1cm);
\filldraw[fill=black] (-0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0,0.3) -- (0.15,-0.15) --(-0.15,-0.15) -- cycle;
\draw (-0.45,-0.35) arc(205:335:0.5cm);
\draw (-0.45,-0.35) -- (0.45,-0.35);
\end{tikzpicture}
#Sugestion:

#resolution:


#Result:

#Verification:


#usepackage
\usepackage{tikz}

• author: no author set
• aux: 1
• filename: gasparF.txt
• title: gasparF.txt
• uploaded: Fri Nov 25 16:42:39 WET 2011

Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A$ é uma matriz escalar.
Seja $A$ uma matriz simétrica. Então, $A$ é uma matriz ortogonal.
Seja $A$ uma matriz invertí­vel. Então, $A$ é uma matriz ortogonal.
Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A$ é uma matriz diagonal.
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A^T$ é uma matriz diagonal.
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A^T$ é uma matriz triangula inferior.  
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A + A^T$ é uma matriz diagonal.

• author: no author set
• aux: 1
• filename: gaspar.v
• title: gaspar.v
• uploaded: Fri Nov 25 16:15:57 WET 2011

Seja $A$ uma matriz escalar. Então, $A$ é uma matriz diagonal.
Seja $A$ uma matriz quadrada. Então, $A^TA$ é uma matriz simétrica.
JJ:Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A + A$ também é uma matriz diagonal.
JJ:Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A^T$ também é uma matriz diagonal.

• author: no author set
• aux: 1
• filename: gaspar.f
• title: gaspar.f
• uploaded: Fri Nov 25 16:14:51 WET 2011

Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A$ é uma matriz escalar.
Seja $A$ uma matriz simétrica. Então, $A$ é uma matriz ortogonal.
Seja $A$ uma matriz invertível. Então, $A$ é uma matriz ortogonal.
Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A$ é uma matriz diagonal.
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A^T$ é uma matriz diagonal.
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A^T$ é uma matriz triangula inferior.  
JJ: Seja $A$ uma matriz triangular superior. Então, $A + A^T$ é uma matriz diagonal.

• author: Cláudia
• filename: gnuplot.txt
• title: gnuplot?
• uploaded: Wed Jan 11 09:52:02 WET 2012

#Title: gnuplot?
#author: Cláudia

#Let:

#Question:

\begin{tikzpicture}[domain=-4:4]
\draw (-0.2,0) -- (-0.2,1.4) -- (1.2,0);

\draw plot[id=-x02] function{-0.2*x*x};
\end{tikzpicture}

#Sugestion:

#resolution:


#Result:

#Verification:


#usepackage
\usepackage{tikz}

• author: Gaspar, JJ
• filename: escolha-UTF-8.txt
• title: Escolha Múltipla
• uploaded: Fri Nov 25 16:44:51 WET 2011

                                                                     
                                                                     
                                                                     
                                             
#title: Escolha Múltipla
#author: Gaspar, JJ
#let:

v1    = import(gasparV.txt);
f1[3] = import(gasparF.txt);
p1[4] = [#v1,#f1[0],#f1[1],#f1[2]];
r1[4] = [1,0,0,0];
p1~r1;

#question:

Indique qual das seguintes proposições é verdadeira.
\begin{questao}{Matrizes}
\begin{enumerate}
\item #r1[0] -> #p1[0]
\item #r1[1] -> #p1[1]
\item #r1[2] -> #p1[2]
\item #r1[3] -> #p1[3]
\end{enumerate}
\end{questao}


#sugestion:
#resolution:
#result:
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
 \hline
 Q & a & b & c & d \\
 \hline \hline
 1& #r1[0]  &  #r1[1] & #r1[2]  &  #r1[3] \\ \hline
 3&         &         &         &         \\ \hline
\end{tabular}
#Verify:

#usepackage

• author: jj \par
• filename: testegnuplot.rtf
• title: Exerc\'edcio tipo infantil \par
• uploaded: Thu Jan 12 22:01:57 WET 2012

{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang2070{\fonttbl{\f0\froman\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset0 Calibri;}}
{\*\generator Msftedit 5.41.21.2509;}\viewkind4\uc1\pard\sb100\sa100\f0\fs24 #title: Exerc\'edcio tipo infantil \par
#author: jj \par
#Obs: ListPerl, importcol, import ls, import file, num/str \par
#let: fun[4]= [ x/(1.2+sin(x)), sin(x)/x , x**2, -x**2 , sin(x), cos(x), x**3, x*sin(x) ]; \par
f f = [ #fun[0], #fun[1], #fun[2], #fun[3] ]; \par
r = [ 1,2,3,4]; \par
r ~ f ; \par
#usepackages \par
\\usepackage\{graphicx\} \par
#question: \par
Qual destes gr\'e1ficos corresponde \'e0 fun\'e7\'e3o $#f$? \par
\\begin\{import_gnuplot\}[width=0.3\\textwidth] \par
set ylabel "f1" \par
set xlabel "x" \par
set nokey \par
plot #fun[0] \par
\\end\{import_gnuplot\} \par
\par
#sugestion: \par
#resolution: \par
#result: \par
#Verify: \par
\pard\sa200\sl276\slmult1\lang22\f1\fs22\par
}

• author: no author set
• aux: 1
• filename: gasparV.txt
• title: gasparV.txt
• uploaded: Fri Nov 25 16:42:19 WET 2011

Seja $A$ uma matriz escalar. Então, $A$ é uma matriz diagonal.
Seja $A$ uma matriz quadrada. Então, $A^TA$ é uma matriz simétrica.
JJ:Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A + A$ também é uma matriz diagonal.
JJ:Seja $A$ uma matriz diagonal. Então, $A^T$ também é uma matriz diagonal.

• author: jj
• filename: gnuplot1.txt
• title: Exercício tipo infantil
• uploaded: Wed Jan 11 11:50:33 WET 2012

#title: Exercício tipo infantil
#author: jj 
#Obs: ListPerl, importcol, import ls, import file, num/str
#let:

fun[4]= [ x/(1.2+sin(x)), sin(x)/x , x**2, -x**2 , sin(x), cos(x), x**3, x*sin(x) ]; 
f f   = [ #fun[0], #fun[1], #fun[2], #fun[3] ];
r     = [ 1,2,3,4];
  r ~ f ;

#usepackages
\usepackage{graphicx}

#question:
Qual destes gráficos corresponde à função $#f$?

#\begin{import_gnuplot}[width=0.3\textwidth]
#set ylabel "f1"
#set xlabel "x"
#set nokey
#plot  #fun[0]
#\end{import_gnuplot}

#sugestion:
#resolution:
#result:
#Verify:

• author: Smirnov
• filename: DFC2.txt
• title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis
• uploaded: Mon Jan 23 15:54:22 WET 2012

#title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f F = [e^u, sin(u), cos(u), tan(u), atan(u)];
f aux1 = [FF(u):=#F];
f G = [v^2, v^3, sqrt(v), log(v)];
f aux2 = [GG(v):=#G];
f aux3 = [H(u,v):=FF(u)*GG(v)];
f u1 = [x^2+y^3, sqrt(x)+y, sqrt(x+y)];
f aux4 = [u2(x,y):=#u1];
f v1 = [x+y^4, sqrt(x)+y^3, sqrt(x^2+3*y)];
f aux5 = [v2(x,y):=#v1];
f HH = H(u2(x,y),v2(x,y));
f DD = diff(#HH,x,1,y,1);

#question:

\noindent Seja $f(x,y)=#HH$. Calcule a derivada parcial $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$.

#sugestion:



#resolution:  Utilizando regra de cadeia obtemos
$$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = #DD .
$$


#result:


#Verification:

• author: Ricardo
• filename: NParticulasNV1.txt
• title: Sistemas de N partículas
• uploaded: Fri Nov 18 10:14:37 WET 2011

#title: Sistemas de N partículas

#author: Ricardo

#let:

n m[3]  = {[1..9]}; 

n x0[3] = {[-9..-1,1..9]}; 

n y0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n u0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n v0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

s q[4] = [posição do centro de massa,
          velocidade do cento de massa,
          momento linear total,
          momento angular total relativamente à origem,
          energia cinética total,
          energia cinética  do centro de massa
           ] ;

n r1[4] = [(#m[0]*#x0[0]+#m[1]*#x0[1]+#m[2]*#x0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
          (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
          (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2]),
           (#m[0]*(#x0[0]*#v0[0]-#y0[0]*#u0[0])+#m[1]*(#x0[1]*#v0[1]-#y0[1]*#u0[1])+#m[2]*(#x0[2]*#v0[2]-#y0[2]*#u0[2])),
           (#m[0]*(#u0[0]*#u0[0]+#v0[0]*#v0[0])+#m[1]*(#u0[1]*#u0[1]+#v0[1]*#v0[1])+#m[2]*(#u0[2]*#u0[2]+#v0[2]*#v0[2]))/2,
           ((#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])*(#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]))/2
           ] ;

n r2[4] = [(#m[0]*#y0[0]+#m[1]*#y0[1]+#m[2]*#y0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
            (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2]),
            ~,
            ~,
            ~ ] ;

s sol1[4] = [ $x=\frac{\sum_{i=1}^3 x_i m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
              $v_x=\frac{\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
              $p_x=\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i=$, 
              $L_z=\sum_{i=1}^3 m_i(x_iv_{yi}-y_iv_{xi})=$,
              $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 m_i(v_{xi}^2+v_{yi}^2)=$,
              $T_c=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^3m_i\right)\left(\frac{\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}\right)^2=$
               ] ;

s sol2[4] = [ $y=\frac{\sum_{i=1}^3 y_{i} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
               $v_y=\frac{\sum_{i=1}^3 v_{yi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
               $p_y=\sum_{i=1}^3 v_{yi} m_i=$, 
               ~,
            ~,
            ~ ] ;



q ~ r1 ~r2 ~ sol1 ~ sol2 ;         


#question:

Considere 3 partículas com as seguintes propriedades, respectivamente:\\
~\\
massas (em kg): $m_1=#m[0]$, $m_2=#m[1]$, $m_3=#m[2]$; \\
~\\
coordenadas (em m): $(#x0[0],#y0[0])$, $(#x0[1],#y0[1])$, $(#x0[2],#y0[2])$;   \\
~\\
velocidades (em m/s):  $(#u0[0],#v0[0])$, $(#u0[1],#v0[1])$, $(#u0[2],#v0[2])$. 

\vspace{5mm}

Calcule:
\begin{enumerate}

\item #q[0];
\item #q[1];
\item #q[2];
\item #q[3];

\end{enumerate}

#sugestion:
    
#resolution:
  
\begin{enumerate}

\item #sol1[0]#r1[0] \hspace{5mm}  #sol2[0]#r2[0];
\item #sol1[1]#r1[1] \hspace{5mm}  #sol2[1]#r2[1];
\item #sol1[2]#r1[2] \hspace{5mm}  #sol2[2]#r2[2];
\item #sol1[3]#r1[3] \hspace{5mm}  #sol2[3]#r2[3];

\end{enumerate}


#result:

\begin{enumerate}

\item #r1[0] \hspace{5mm}  #r2[0];
\item #r1[1] \hspace{5mm}  #r2[1];
\item #r1[2] \hspace{5mm}  #r2[2];
\item #r1[3] \hspace{5mm}  #r2[3];

\end{enumerate}


    
#Verify:

#Obs:
        

• author: Ricardo
• filename: eq_lagrange_2D
• title: Equações de Lagrange - 2D
• uploaded: Mon Jan 9 12:53:48 WET 2012

#title: Equações de Lagrange - 2D

#author: Ricardo

#let:
f  c = [ x^2,  -x^2 ];

f df = diff(#c, x, 1) ;

f ddf = diff(#c, x, 2) ;

f x = [x(t) := x];

f dx = diff(#x,t,1);

f L = ratsimp( 0.5 m #dx^2 (1+#df^2) + mg#c);

#question:

Considere uma partícula de massa $m$ constrangida a mover-se numa curva dada pela equação:
 $z(x)=#c $.

Considere que a gravidade actua no sentido negativo dos eixo dos $z$.

Determine o Lagrangeano deste sistema e calcule as equações de Lagrange.

#sugestion:
Nenhuma.

#resolution:
 Lagrangeano:
$$ L = \frac{1}{2} m \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2\right) + mgz  $$


Equação de Lagrange:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dz}{dx} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dz}{dx}-\frac{dx}{dt}\frac{d^2z}{dx^2} -g\right) = 0 $$

#result:
$$ #df $$
$$ #ddf $$

Lagrangeano:
$$L=#L$$

Equação de Lagrange:


#Verify:

#Obs:

• author: Ricardo
• filename: Lagrange1
• title: Equações de Lagrange - 2D
• uploaded: Mon Jan 9 14:31:06 WET 2012

#title: Equações de Lagrange - 2D

#author: Ricardo

#let:
f  c = [ x^2,  -x^2 ];

f dc = diff(#c, x, 1) ;

f ddc = diff(#c, x, 2) ;


f M = [m];
f G = [g];

f dx = [\dot{x}];

f L1 = ratsimp(1+#dc^2); 

f L2 = ratsimp(#M*#G*#c);

f def_dd = dd :: dx/dt; 

f L =  ratsimp((1/2) *#M *(dd)^2 * #L1 + #L2);



#question:

Considere uma partícula de massa $m$ constrangida a mover-se numa curva dada pela equação:
 $z(x)=#c $.

Considere que a gravidade actua no sentido negativo dos eixo dos $z$.

Determine o Lagrangeano deste sistema e calcule as equações de Lagrange.

#sugestion:
Nenhuma.

#resolution:
 Lagrangeano:
$$ L = \frac{1}{2} m \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2\right) + mgz  $$


Equação de Lagrange:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dz}{dx} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dz}{dx}-\frac{dx}{dt}\frac{d^2z}{dx^2} -g\right) = 0 $$

#result:
$$ #dc $$
$$ #ddc $$

Lagrangeano:
$$#L$$
$$L= \frac{1}{2} m #dx^2 ( #L1 ) + #L2$$

Equação de Lagrange:


#Verify:

#Obs:

• author: Rui M. S. Pereira , Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_arcSIN.txt
• title: Integracao_regra_arcSIN.txt
• uploaded: Sat Nov 19 09:56:05 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o P $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}=arcsin(u)+C$
#author: Rui M. S. Pereira , Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:



f u= [ sin(x), cos(x), exp(x) ]; 
f du=[cos(x), -sin(x),exp(x) ];
f raiz=[sqrt(1-(sin(x))^2),sqrt(1-(cos(x))^2),sqrt(1-(exp(x))^2)];

u~du~raiz;

f res = arcsin(#u);

f enun = ratsimp((#du)/(#raiz));


#Question:

\noindent Calcule o integral indefinido,

$$
\int #enun \ dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}= arcsin(u)+C.
$$



#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun\ dx = #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

arcsin(#u).

• author: no author set
• filename: IntegracaoPorPartesNV.txt
• title: no title set
• uploaded: Tue Nov 15 17:54:37 WET 2011

#title:Integração por partes

#Let:

f P = [ x^2*sin(x)  , x*cos(x) , x^3*exp(x)] ;
f dP= [ 2*x*sin(x)+x^2*cos(x), cos(x)-x*sin(x), 3*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ; 
f ddP= [ 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x), -2*sin(x)-x*cos(x), 6*x*exp(x)+6*x^2*exp(x)+x^3*exp(x) ] ; 
f U  = [ x^2 , x^3 , x^4 ] ;
f dU = [ 2*x , 3*x^2 , 4*x^3 ] ;
f ddU = [ 2 , 6*x , 12*x^2 ] ;

P~dP~ddP;
U~dU~ddU;

f V = #dP / #dU;
f dV = (#dU*#ddP - #dP*#ddU)/(#dU)^2;

f enun= #U * #dV;

#Question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #enun \,dx.
$$

$$
\int #U * #dV dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv - \int vdu.
$$


#Resolution

\noindent Utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu
$$
obtemos
$$
\int #U*#dV dx=#U #V-\int #V #dU dx= #U #V - #P + C.
$$



#Result:

$$
\int #U*#dV dx = #U #V - #P + C.
$$


#Verification:

f (#U*#V+C);

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: integracao_fracoes_racionais_tipo3.txt
• title: Regra de integração de frações racionais - numerador constante, denominador com par de raízes complexas + raiz real
• uploaded: Sun Dec 4 20:43:42 WET 2011

#title: Regra de integração de frações racionais - numerador constante, denominador com par de raízes complexas + raiz real

#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira

#let:

n b = {[-3..-1]};
n a = {[4..7]};
n k1={[1..5]};
n k2={[1..5]};
n k3={[1..5]};

f w = (x^2+#a)*(x-#b);

f den=expand(#w);

f enun= #den;

f sf = (Ax+B)/((x^2+#a)) + C/(x-#b);

f ssf =((A+C)*x^2+(-#b*A+B)*x-(-#b*B+C*#a))/(#w);

f c = #b* A + #a* B;

f const = -(#b)*(#k2)+(#a)*(#k3);

f constante=ratsimp(-#const);

f den1=ratsimp((x^2+#a));

f den2=ratsimp(x-#b);

f sol_a=ratsimp(#const/(-(#b)^2-(#a)));

f sol_b=ratsimp(#b*#sol_a);

f sol_c=ratsimp(-#sol_a);

f eq1=ratsimp(-#b);

f num1=expand(#sol_a * x + #sol_b) ;

f num2=#sol_c ;

f raiz=sqrt(#a);

f resp1=ratsimp(#sol_a/2);

f resp2=ratsimp(#sol_b/(#a^(1/2)));

#question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int \frac{ #constante dx}{#enun}.
$$



#resolution:

\noindent Resolvendo a equação
$$
 #den =0;
$$
obtemos,
$$
 #den = #w.
$$
A fração,
$$
\frac{#constante}{ #enun}
$$
pode ser representada na forma de soma de frações elementares:
$$
 \frac{#constante}{ #enun} = #sf.
$$
Da igualdade
$$
 #sf=#ssf
$$
obtemos o sistema
\begin{eqnarray*}
&& A +C=0\\
&& #eq1 \times A+B=0\\
&& #eq1 \times B+C \times #a =#const.
\end{eqnarray*}
Resolvendo este sistema obtemos $A=#sol_a$ , $B=#sol_b$ e $C=#sol_c$. Portanto,
$$
\int \frac{#const dx}{#enun}=  \int \frac{#num1 dx}{#den1} + \int \frac{#num2 dx}{#den2}=
$$

$$
   #sol_c \log|#den2| #resp1 \log|#den1|+ #resp2 arctan \frac{x}{#raiz}  +C.
$$

#result

$$
\int \frac{#const dx}{#enun}=   #sol_c \log|#den2| #resp1 \log|#den1|+ #resp2 arctan \frac{x}{#raiz}  +C.
$$

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: integracao_fracoes_racionais_tipo2.txt
• title: Regra de integração de frações racionais - denominador com raízes reais repetidas + raíz real diferente
• uploaded: Fri Nov 25 15:13:15 WET 2011

#title: Regra de integração de frações racionais - denominador com raízes reais repetidas + raíz real diferente

#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira

#let:

n a = {[-2..-1]};
n b = {[3..4]};


f w = (x-#a)^2*(x-#b);

f den=expand(#w);

f enun= #den;

f sf = A/(x-#a)+B/(x-#a)^2 + C/(x-#b);

f ssf =((A+C)*x^2+x*(ratsimp(-#a-#b+B-2*#a*C))+(ratsimp(#a*#b*A-#b*B+#a^2*C)))/(#w);

f c = #b* A + #a* B;

f AA=(1+(#b)*(#a)+(#b)^2)/((#a)*(#b)-(#a)^2+2*(#a)*(#b));

f BB=(#a)+(#b)-2*(#a)*(#AA);

f CC=-#AA;

f eq2=ratsimp(-#a-#b+B-2*#a*C);

f eq3=ratsimp(#a*#b*A-#b*B+#a^2*C)

f den12=ratsimp(x-#a)

f den3=ratsimp(x-#b)

#question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int \frac{dx}{#enun}.
$$



#resolution:

\noindent Resolvendo a equação
$$
 #den =0;
$$
obtemos
$$
 #den = #w.
$$
A fração 
$$
\frac{1}{ #enun}
$$
pode ser representada na forma de soma de frações elementares:
$$
 \frac{1}{ #enun} = #sf.
$$
Da igualdade
$$
 #sf=#ssf
$$
obtemos o sistema
\begin{eqnarray*}
&& A +C=0\\
&& #eq2=0\\
&& #eq3=1.
\end{eqnarray*}
Resolvendo este sistema obtemos $A=#AA$, $B=#BB$ e $C=#CC$. Portanto
$$
\int \frac{dx}{#enun}= #AA \int \frac{dx}{#den12} +#BB \int \frac{dx}{(#den12)^2}+ #CC \int \frac{dx}{#den3}
$$
$$
 =#AA\log |#den12|+\frac{-#BB}{#den12} +#CC \ log|#den3|+C 
$$



#result

$$
\int \frac{dx}{#enun}= #AA\log |#den12|+\frac{-#BB}{#den12} +#CC \ log|#den3|+C 
$$

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_logaritmo.txt
• title: Integracao_regra_logaritmo.txt
• uploaded: Sat Nov 19 09:53:37 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o para a regra $P \frac{u'}{u}$.
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:



f p= [sin(x), cos(x), x^6 ]; 
f dp=[ cos(x), -sin(x),6*x^5 ];

p~dp;

f res = ln |#p|;

f enun = ratsimp(#dp/#p);


#Question:

\noindent Calcule o integral,
$$
\int #enun \,dx
$$



#Sugestion:

\noindent Utilize a fórmula do formul\'{a}rio
$$
\int \frac{u'}{u}= ln|u|+C.
$$
Conv\'{e}m verificar dom\'{i}nio das fun\c{c}\~{o}es.


#Resolution

Obt\'{e}m-se:
$$
\int #enun \,dx= #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

ln|#p|+C.

• author: Smirnov
• filename: GaussDim2Tipo1.txt
• title: no title set
• uploaded: Tue Nov 15 17:55:30 WET 2011

#Title: Sistema de duas equacoes lineares caso I
#author: Smirnov

#Let:

x_1 = [ 0 , 1  , 2 , -1 , -3 , 5 , 3] ;

x_2 = [ 1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

a = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

b = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

h1 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

h2 = [1 , 2 , 3 , -2 , -1 , -3 , 4] ;

c = #a * #h1 ;

d = #h2 + #b * #h1 ;

f = #a * #x_1 + #b * #x_2 ;

g = #c * #x_1 + #d * #x_2 ;

h3 = #g - #f * #h1 ;


#Question:

\noindent Resolva o sistema de  equações: 

\begin{eqnarray*}
 #a x_1 + #b x_2 &=& #f,\\
 #c x_1 + #d x_2 &=& #g.
\end{eqnarray*}

#sugestion:

\noindent Utilize o Método de Gauss.


#resolution:

\noindent Utilizando o Método de Gauss do sistema
\begin{eqnarray*}
 #a x_1 + #b x_2 &=& #f,\\
 #c x_1 + #d x_2 &=& #g,
\end{eqnarray*}
obtemos o sistema
\begin{eqnarray*}
 #a x_1 + #b x_2 &=& #f,\\
 #h2 x_2         &=& #h3
\end{eqnarray*}
Da segunda equação encontramos $x_2=#x_2$. Substituindo este valor na primaira equação encontramos $x_1=#x_1$.


#result:

$$
x_{1} = #x_1,
$$
$$
x_{2} = #x_2.
$$

#verify:

x_1 ;
x_2 ;

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_arcSINH.txt
• title: Integracao_regra_arcSINH.txt
• uploaded: Sat Nov 19 09:55:03 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o P $\frac{u'}{\sqrt{1+u^2}}=arcsinh(u)+C$
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:



f u= [ sin(x), cos(x), exp(x) ]; 
f du=[ cos(x), -sin(x), exp(x) ];
f raiz=[sqrt(1+(sin(x))^2),sqrt(1+(cos(x))^2),sqrt(1+(exp(x))^2)];

u~du~raiz;



f res = arcsinh(#u);

f enun = ratsimp((#du)/(#raiz));

#Question:

\noindent Calcule o integral indefinido,

$$
\int  #enun \ dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int \frac{u'}{\sqrt{1+u^2}}= arcsinh(u)+C.
$$



#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun \ dx= #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

arcsinh(#u).

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_potencia.txt
• title: Integracao_regra_potencia.txt
• uploaded: Fri Nov 18 10:28:56 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o para $P {u^{\alpha}} u^{'} $ ($\alpha \neq -1$).
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:


f alfa = [ 2 ,3, 4,5,6,7,8,9,10] ;
f p= [ sin(x), cos(x), exp(x) ]; 
f dp=[ cos(x), -sin(x), exp(x) ];

p~dp;

f res2 = ((#p)^(#alfa+1))/(#alfa+1);

f res=ratsimp(#res2,x);

f enun= ratsimp((#p)^#alfa * (#dp));


#Question:

\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int #enun \,dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int u^{\alpha} u'= \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
$$
certificando-se que $\alpha \neq 1$.


#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun dx= #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

\frac{#p^{#alfa+1}}{#alfa+1}.

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_acrTAN.txt
• title: Integracao_regra_acrTAN.txt
• uploaded: Fri Nov 18 10:31:04 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o $P \frac{u'}{1+u^2}=arctan(u)+C$
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:



f u= [exp(x),  sin(x), cos(x) ]; 
f du=[exp(x),  cos(x), -sin(x) ];

u~du;


f res = arctan(#u);

f enun = ratsimp((#du)/(1+(#u)^2));


#Question:

\noindent Calcule o integral indefinido,

$$
\int #enun \, dx.
$$


#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int \frac{u'}{1+u^2}= arctan(u)+C.
$$



#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun \,dx = #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

arctan(#u).

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: integracao_fracoes_racionais_tipo1.txt
• title: Regra de integracao de fracoes racionais - numerador constante, denominador com raízes reais distintas
• uploaded: Fri Nov 25 15:12:23 WET 2011

#title: Regra de integracao de fracoes racionais - numerador constante, denominador com raízes reais  distintas 

#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira

#let:

n a = {[-3..-1]};
n b = {[1..3]};


n k1 = {[-5..5]};
n k2 = {[-5..5]};

f w = (x-#a)*(x-#b);

f den=expand(#w);

f enun= #den;

f sf = A/(x-#a) + B/(x-#b);

f ssf =((A+B)*x-(A*#b+B*#a))/(#w);

f c = #b* A + #a* B;

f const = -(#b)*(#k1)-(#a)*(#k2);

f den1=ratsimp((x-#a));

f den2=ratsimp((x-#b));

f sol_a=ratsimp(#const/(#a-#b));

f sol_b=ratsimp(-#sol_a);

f constante=ratsimp(-#const);

#question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int \frac{ #const dx}{#enun}.
$$



#resolution:

\noindent Resolvendo a equação
$$
 #den =0;
$$
obtemos
$$
 #den = #w.
$$
A fração 
$$
\frac{1}{ #enun}
$$
pode ser representada na forma de soma de frações elementares:
$$
 \frac{#const}{ #enun} = #sf.
$$
Da igualdade
$$
 #sf=#ssf
$$
obtemos o sistema
\begin{eqnarray*}
&& A +B=0\\
&& #c =#constante.
\end{eqnarray*}
Resolvendo este sistema obtemos $A=#sol_a$ e $B=#sol_b$. Portanto
$$
\int \frac{dx}{#enun}= #sol_a \int \frac{dx}{#den1} + #sol_b \int \frac{dx}{#den2}
$$
$$
 =#sol_a \log |#den1|+#sol_b \log |#den2| +C = \log{|#den1|^{#sol_a}}{|#den2|^{#sol_b}}+C.
$$



#result

$$
\int \frac{#const dx}{#enun}=  \log{|#den1|^{#sol_a}}{|#den2|^{#sol_b}}+C.
$$

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Integracao_regra_arcTANH.txt
• title: Integracao_regra_arcTANH.txt
• uploaded: Fri Nov 18 10:30:19 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o P $\frac{u'}{1-u^2}=arctanh(u)+C$
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:

f u= [sin(x), cos(x), exp(x)]; 
f du= [cos(x), -sin(x), exp(x)];

u~du;

f res = arctanh(#u);
f enun= ratsimp(#du/(1-#u^2));


#Question:

\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int #enun \,dx.
$$



#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio:
$$
\int \frac{u'}{1-u^2}= arctanh(u)+C.
$$



#Resolution

Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun \,dx = #res+C.
$$

#result

$$ #res+C $$

#Verify

arctanh(#u).

• author: Smirnov, Irene
• filename: Continuidade_A.txt
• title: Continuidade A
• uploaded: Tue Jan 24 17:09:19 WET 2012

#title: Continuidade A

#author: Smirnov, Irene

#let:

n A = [2,3,4,5,6];
n B = [4,9,16,25,36];
n M = [2,3,4,5,6];
n Nb = [2,3,4,5,6];
n b = [1,2,3];
n L = #M + #Nb;
n N = #Nb*#b; 
n K = #N + #b*#M;
n M1 = #M-1;
n L1 = #L-1;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^#K + #B*y^#L;
f xb = x^#b;

f D = diff(#g/#h,y,1);

#question:

\noindent Considere a função $f(x,y)$ definida por
$$
 f(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{#g}{#h}, & x^2+y^2 \neq 0,\\
 0, & x^2+y^2 =0.
\end{array}
\right.
$$

\begin{enumerate}
 
\item Estude a continuidade da função $f(x,y)$;

\item Determine a expressão de $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$.

\end{enumerate}

#sugestion:


#resolution:


\begin{enumerate}

\item A função $f$ é contínua em $R^{2} \backslash \{(0,0)\}$ por ser o quociente de duas funções polinomiais que são contínuas.

A continuidade de $f$ no ponto $(0,0)$ pode ser estudada, verificando se $ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$.
O que se conlcui, é que o limite duplo não existe. De fato, consideremos $y=\alpha #xb$. Então temos

$$
 f(x,\alpha #xb)=\frac{ \alpha^{#M} }{ #A + #B \alpha^{#L} }.
$$

Portanto o limite da função $f$ ao longo da curva $y=\alpha #xb$ depende do valor do parâmetro $\alpha$. Logo o limite duplo não existe e, assim, a função não é contínua em $(0,0)$.


\item Calculando $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ para $(x,y) \in R^{2} \backslash \{(0,0)\},$ obtém-se:
$$
\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } = #D.
$$ 
Para $(x,y) = (0,0)$, a derivada parcial calcula-se da seguinte forma:
$$
 \frac{\partial f(0,0) }{ \partial y } = \lim_{ k\rightarrow 0} \frac{ f(0,k)-f(0,0) }{k} = 0.
$$

\end{enumerate}





#result:

#verification:


#usepackage

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} 

• author: Smirnov, Irene
• filename: Dominio.txt
• title: Domínio de função (com gráficos)
• uploaded: Tue Jan 24 17:24:02 WET 2012

#title: Domínio de função (com gráficos)

#author: Smirnov, Irene

#let:

n a = import(coef_aDom.tab);
n b = import(coef_bDom.tab);
n c = import(coef_cDom.tab);


f F1 = [sqrt(z), sqrt(-z), log(z), log(-z), 1/z, 1/sqrt(z),1/sqrt(-z)];

s S = [\geq, \leq, >, <, \neq, >, <];



f D0  = [ #a^2-(x+#b)^2-(y+#c)^2];
f D1 = ratsimp(#D0);


f d = ratsimp(-#b);

f e = ratsimp(-#c);


f aux1 = [F(z) := #F1];

f G  = ratsimp(F(#D1));




fig1 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};




fig2 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



fig3 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture}  }};



fig4 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig5 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\draw[style=dashed,color=white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig6 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig7 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



Gr = [#fig1, #fig2, #fig3, #fig4, #fig5, #fig6, #fig7];

F1~S~Gr;







#question:

\noindent Determine  e represente geometricamente o domínio da função $f(x,y)=#G$.


#sugestion:


#resolution:


#result:
$$
 {\rm dom} f = \{ (x,y) \mid  #D0 #S 0\}.
$$


$$
 #Gr
$$


A área azul representa o domínio da função.


#Verification:


#usepackage:
 
\usepackage{tikz} 

• author: Smirnov
• filename: DFC2.txt
• title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis
• uploaded: Tue Jan 24 01:55:11 WET 2012

#title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f F = [e^u, sin(u), cos(u), tan(u), atan(u)];
f aux1 = [FF(u):=#F];
f G = [v^2, v^3, sqrt(v), log(v)];
f aux2 = [GG(v):=#G];
f aux3 = [H(u,v):=FF(u)*GG(v)];
f u1 = [x^2+y^3, sqrt(x)+y, sqrt(x+y)];
f aux4 = [u2(x,y):=#u1];
f v1 = [x+y^4, sqrt(x)+y^3, sqrt(x^2+3*y)];
f aux5 = [v2(x,y):=#v1];
f HH = H(u2(x,y),v2(x,y));
f DD = diff(#HH,x,1,y,1);

#question:

\noindent Seja $f(x,y)=#HH$. Calcule a derivada parcial $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$.

#sugestion:



#resolution:  Utilizando regra de cadeia obtemos
$$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = #DD .
$$


#result:


#Verification:

• author: smirnov
• filename: lagrangeGS.txt
• title: Substituição - derivada
• uploaded: Mon Jan 9 21:45:47 WET 2012

#title: Substituição - derivada

#author: smirnov

#Let:

f z  =  [-x^2] ;
f dz = diff(#z,x,1);
f L1 = [a*m*d^2*(1+q^2) + m*g*f];
f aux = [LL(a,m,d,q,g,f) := #L1];
f L = LL(1/2,m,v,#dz,g,#z);

#Question:

O Lagrangeano do sistema é
$$#L,$$
onde $v=\dot{x}$.

#Sugestion:

#Resolution

#Result:

#Verify:

• author: Smirnov
• filename: Diferencial0.txt
• title: Uso de diferencial para cálculos aproximados
• uploaded: Tue Jan 24 18:38:43 WET 2012

#title: Uso de diferencial para cálculos aproximados

#author: Smirnov

#let:

n n1 = [2,3,4,5,6,7,8,9];
n m1 = [2,3,4,5,6,7,8,9];
n k1 = [2,3,4,5,6,7,8,9];

n a = [1,2,3,4,5,6];
n b = [1,2,3,4,5,6];
n d = [1,2,3,4,5,6];
n c = #a^#n1+#b^#m1-#d^#k1;
n da = [-0.1,0.1];
n db = [-0.2,0.2];
n a1 =#a+#da;
n b1 =#b+#db;

n n2 = #n1-1;
n m2 = #m1-1;
n k2 = 1-#k1;

n r = #d+ #n1* #a^#n2* #d^#k2 *#da/#k1 + #m1* #b^#m2 *#d^#k2* #db/#k1;


#question:

\noindent Usando diferenciais, calcule um valor aproximado de $\sqrt[{#k1}]{{#a1}^{#n1}+{#b1}^{#m1}-#c}$.

#sugestion:



#resolution: 






#result:


#Verification:

• author: Smirnov
• filename: Taylor-Teste.txt
• title: Taylor
• uploaded: Wed Jan 4 20:24:27 WET 2012

#title: Taylor

#author: Smirnov

#let:


f U = taylor (exp(x), x, 0, 5);


#question:

\noindent Escreva os primeiros 5 termos da série de Taylor da função $e^x$.


#sugestion:

\noindent Utilize o formulário


#resolution

$$
 #U
$$



#result:

$$
 #U
$$


#Verification:
$$
 #U
$$

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_bLim_A.tab
• title: coef_bLim_A.tab
• uploaded: Mon Jan 16 21:07:29 WET 2012

1
2
3

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_bDom.tab
• title: coef_bDom.tab
• uploaded: Mon Jan 16 17:56:44 WET 2012

-1
1
-2
2
-3
3
-4
4

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_aDom.tab
• title: coef_aDom.tab
• uploaded: Mon Jan 16 17:56:20 WET 2012

1
2
3
4

• author: Smirnov
• filename: EqQuadrat1.txt
• title: Equação quadrática
• uploaded: Wed Nov 16 18:05:19 WET 2011

#title: Equação quadrática
#author: Smirnov

#let:

n  a   =[ 1 , -1 , 2 , 1/2 , 2/3 , 3 , 5 ] ;
n  x_1 =[ 0 , 1 , 1/2 , 2 , -1 , -3/2 , 5 , 3 ] ;
n  x_2 =[ 1 , 1/2 , 2/3 , -2 , -1 , -3 , 2 ] ;

n b= -#a * (#x_1 + #x_2) ;
n c=  #a * #x_1 * #x_2 ;
n D=  #b**2 - 4 * #a * #c ;
f pol = #a * x^2 + #b * x + #c;

#question:

 %% \noindent Resolva a equação: $#a x^2 + #b x + #c=0$.

\noindent Resolva a equação: $#pol=0$.

#sugestion:

\noindent As raízes de uma equação de grau dois calcula-se utilizando a fórmula:
$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},
$$
onde $D=b^2 -4ac$.


#resolution:

\noindent As raízes de uma equação de grau dois calcula-se utilizando a fórmula:
$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},
$$
onde $D=b^2 -4ac$.

\vspace{5mm}

\noindent Discriminante desta equação é: 
$$
D = #D.
$$
Portanto, as raízes são:
$$
x_{1}=\frac{-#b + \sqrt{#D}}{2\times #a} = #x_1
\;\;{\rm e}\;\; 
x_{2}=\frac{-#b - \sqrt{#D}}{2\times #a} = #x_2.
$$

#result:

$$
x_{1} = #x_1,
$$
$$
x_{2} = #x_2.
$$

#Verify:

n | x_1 ;
n | x_2 ;

• author: no author set
• filename: DerivadaDoProduto.txt
• title: DerivadaDoProduto.txt
• uploaded: Wed Nov 16 11:03:17 WET 2011

#title:Derivada do produto

#Let:

f v  = [sin(x)  , cos(x) , exp(x)] ;
f u  = [ x , x^2 , x^3] ;
f dv = [ cos(x) , -sin(x) , exp(x)] ;
f du = [ 1 , 2*x , 3*x^2] ;

 v~dv;
 u~du;

cf w  = #u  * #v ;
cf dw = #du * #v + #u * #dv ;

#Question:

\noindent Calcule a derivada da função: $f(x)=#w$.

#Sugestion:

\noindent Utilize a fórmula $(uv)'=u'v+uv'$.


#Resolution

\noindent Utilizando a fórmula $(uv)'=u'v+uv'$ obtemos
$$
(uv)' = #dw .
$$


#Result:

$$
(uv)' = #dw.
$$


#Verify:

f | dw | [-10 : -1 : 100] , [1 : 10 : 100]   ;

#usepackage
 %....

• author: Smirnov
• filename: Limite_A.txt
• title: Limites A
• uploaded: Tue Jan 24 17:18:39 WET 2012

#title: Limites A

#author: Smirnov

#let:

n A = import(coef_aLim_A.tab);
n B = import(coef_bbLim_A.tab);
n M = import(coef_aLim_A.tab);
n Nb = import(coef_aLim_A.tab);
n b = import(coef_bLim_A.tab);
n L = #M+#Nb;
n N = #Nb*#b; 
n K = #N+#b*#M;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^#K+#B*y^#L;
f xb = x^#b;

#question:

\noindent Seja
$$
 f(x,y)=\frac{#g}{#h}.
$$
Calcule os limites iterados 
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \lim_{y\rightarrow 0}f(x,y)\right)\; {\rm     e}\; \lim_{y\rightarrow 0}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f(x,y)\right) . 
$$
O que pode concluir sobre a existência do limite duplo
$$
 \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)?
$$


#sugestion:


#resolution:

Os limites repetidos obviamente são iguais a zero. O limite duplo não existe. De fato, consideremos $y=\alpha #xb$. Então temos
$$
f(x,\alpha #xb)=\frac{\alpha^{#M}}{#A+#B\alpha^{#L}}.
$$
Portanto o limite da função $f$ ao longo da curva $y=\alpha #xb$ depende do valor do parâmetro $\alpha$. Logo o limite duplo não existe. 

#result:

#verification:

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: Documento.txt
• title: Regra - parte 2.
• uploaded: Thu Dec 15 14:07:07 WET 2011

#title: Regra  - parte 2.
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#let:

f alfa = [ 2 ,3, 4,5,6,7,8,9,10] ;
f p= [ log(x), x ]; 
f dp=[ 1/x, 1 ];
p~dp;
f res2 = ((#p)^(#alfa+1))/(#alfa+1);
f res=ratsimp(#res2,x);
f enun= ratsimp((#p)^#alfa * (#dp));

#question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int #enun \,dx.
$$

#sugestion:
\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int u^{\alpha} u'= \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
$$
certificando-se que $\alpha \neq 1$.

#resolution
Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun dx= #res+C.
$$

#result:
$a$

• author: Smirnov
• filename: DerivadaDaFuncaoComposta_A1.txt
• title: Derivada da função composta A1
• uploaded: Thu Jan 5 08:05:21 WET 2012

#title: Derivada da função composta A1

#author: Smirnov

#let:

n a = import(coef_a.tab);

f def_e = e :: %e;

f u = import(funcoes_u.tab);
f aux1 = [u(x) := #u];

f v = import(funcoes_v.tab);
f aux2 = [v(x) := #v];

f  w  = v(u(x));

f du1 = diff(#u,x,1) ;

f dv1 = diff(#v,x,1) ;

f aux3 = [dv(x) := #dv1];
f aux4 = [du(x) := #du1];

f dvu = dv(u(x));

f p1  = x*y ;
f aux5 = [p(x,y) := #p1];


f dw = p(dvu(x),du(x));


#question:

\noindent Calcule a derivada da função: $f(x)=#w$.

#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$.

#resolution

\noindent Fazendo $u=#u$ e $v=#v$, e utilizando a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$ obtemos
$$
f'(x)=(v(u))' = #dw .
$$


#result:

$$
f'(x)= #dw.
$$


#verify:

 dw | [-10 : -1 : 100] , [1 : 10 : 100]   ;

• author: Smirnov
• filename: Taylor_A.txt
• title: Taylor 2 variaveis
• uploaded: Tue Jan 24 18:53:37 WET 2012

#title: Taylor 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f A = [e^x];
f B = [sin(y)];
f a = taylor(#A,x,0,3);
f b = taylor(#B,y,0,3);
f p = #a*#b;
f q = expand(#p);
f t = taylor(#p, [x,y],0,3);
f g = #A*#B;


#question:

\noindent Determine polinómio de Taylor $P(x,y)$ de grau 3 no ponto $(0,0)$ para a função $f(x,y)=#g$.


#sugestion:



#resolution: Desenvolvendo as funções $#A$ e $#B$ em séries de Taylor no ponto 0, obtemos:
$$
 #A = #a +\ldots
$$
e
$$
 #B = #b + \ldots .
$$
Deixando os termos até grau 3 e multiplicando obtemos
$$
 #p
$$
$$
 = #q.
$$
Daqui vemos que o polinómio de Taylor da função $#g$  no ponto $(0,0)$ é
$$
 P(x,y)= #t .
$$



#result:


#Verification:

• author: no author set
• aux: 1
• filename: funcoes_u.tab
• title: funcoes_u.tab
• uploaded: Wed Jan 4 19:25:48 WET 2012

x^2
x^3
x^4

• author: Smirnov
• filename: DerivadaDaFuncaoComposta_A0.txt
• title: Derivada da função composta A0
• uploaded: Wed Jan 4 17:59:16 WET 2012

#title: Derivada da função composta A0

#author: Smirnov

#let:

n a = import(coef_a.tab);

f def_e = e :: %e;

f u = import(funcoes_u.tab);
f aux1 = [u(x) := #u];

f v = import(funcoes_v.tab);
f aux2 = [v(x) := #v];

f  w  = v(u(x));

f dw = diff(#w,x,1) ;



#question:

\noindent Calcule a derivada da função: $f(x)=#w$.

#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$.

#resolution

\noindent Fazendo $u=#u$ e $v=#v$, e utilizando a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$ obtemos
$$
f'(x)=(v(u))' = #dw .
$$


#result:

$$
f'(x)= #dw.
$$


#verify:

 dw | [-10 : -1 : 100] , [1 : 10 : 100]   ;

• author: Smirnov
• filename: Taylor_B1.txt
• title: Taylor 2 variaveis (soma - f.c.)
• uploaded: Thu Jan 19 20:37:59 WET 2012

#title: Taylor 2 variaveis (soma - f.c.)

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f A = [e^x];
f B = [sin(z)];
f aux1 = [BB(z):=#B];
f aux = [s(x,y):=x+y];
f BBB = BB(s(x,y));
f a = taylor(#A,x,0,3);
f b = taylor(#B,z,0,3);
f aux2 = [bb(z):=#b];
f bbb = bb(x+y);
f p = #a*#bbb;
f q = expand(#p);
f t = taylor(#p, [x,y],0,3);
f g = #A*#BBB;
f at = trunc(#a);


#question:

\noindent Determine polinómio de Taylor $P(x,y)$ de grau 3 no ponto $(0,0)$ para a função $f(x,y)=#g$.


#sugestion:



#resolution: Desenvolvendo as funções $#A$ e $#B$ em séries de Taylor no ponto 0, obtemos:
$$
 #A = #at +\ldots
$$
e
$$
 #B = #b + \ldots .
$$
Deixando os termos até grau 3 e multiplicando obtemos
$$
 #p
$$
$$
 = #q.
$$
Daqui vemos que o polinómio de Taylor da função $#g$  no ponto $(0,0)$ é
$$
 P(x,y)= #t .
$$



#result:


#Verification:

• author: Smirnov
• filename: DerivadaDaFuncaoComposta_A.txt
• title: Derivada da função composta A
• uploaded: Thu Jan 5 08:07:30 WET 2012

#title: Derivada da função composta A

#author: Smirnov

#let:

n a = import(coef_a.tab);

f def_e = e :: %e;

f u = import(funcoes_u.tab);
f aux1 = [u(x) := #u];

f v = import(funcoes_v.tab);
f aux2 = [v(x) := #v];

f  w  = v(u(x));

f du = diff(#u,x,1) ;

f dv = diff(#v,x,1) ;

f aux3 = [dv(x) := #dv];

f dvu = dv(u(x));

f dw = #dvu*#du;

f vu = v(u);

#question:

\noindent Calcule a derivada da função: $f(x)=#w$. 
#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$.

#resolution

\noindent Fazendo $u=#u$ e $v=#vu$, e utilizando a fórmula $(v(u))'=v'(u)u'$ obtemos
$$
f'(x)=(v(u))' = #dw .
$$


#result:

$$
f'(x)= #dw.
$$


#verify:

 dw | [-10 : -1 : 100] , [1 : 10 : 100]   ;

• author: Ricardo
• filename: NParticulas2.txt
• title: Sistemas de N partículas
• uploaded: Sat Nov 26 04:59:41 WET 2011

#title: Sistemas de N partículas

#author: Ricardo

#let:

include(Formula.txt)

n m[3]  = {[1..9]}; 

n x0[3] = {[-9..-1,1..9]}; 

n y0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n u0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n v0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

s q[4] = [posição do centro de massa,
          velocidade do cento de massa,
          momento linear total,
          momento angular total relativamente à origem,
          energia cinética total,
          energia cinética  do centro de massa
           ] ;

n r1[4] = [(#m[0]*#x0[0]+#m[1]*#x0[1]+#m[2]*#x0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2]),
           (#m[0]*(#x0[0]*#v0[0]-#y0[0]*#u0[0])+#m[1]*(#x0[1]*#v0[1]-
                     #y0[1]*#u0[1])+#m[2]*(#x0[2]*#v0[2]-#y0[2]*#u0[2])),
           (#m[0]*(#u0[0]*#u0[0]+#v0[0]*#v0[0])+#m[1]*(#u0[1]*#u0[1]+
                     #v0[1]*#v0[1])+#m[2]*(#u0[2]*#u0[2]+#v0[2]*#v0[2]))/2,
           ((#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])*(#m[0]*#u0[0]+
                     #m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]))/2
           ] ;

n r2[4] = [(#m[0]*#y0[0]+#m[1]*#y0[1]+#m[2]*#y0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2]),
            ~,
            ~,
            ~ ] ;

s sol1[4] = [ #fis1x, #fis2x, #fis3x, #fis4, #fis5, #fis6 ];

s sol2[4] = [ #fis1y, #fis2y, #fis3y, ~, ~, ~ ] ;

q ~ r1 ~r2 ~ sol1 ~ sol2 ;         


#question:

Considere 3 partículas com as seguintes propriedades, respectivamente:
\begin{description}
\item[massas] (em kg): $m_1=#m[0]$, $m_2=#m[1]$, $m_3=#m[2]$;
\item[coordenadas] (em m): $(#x0[0],#y0[0])$, $(#x0[1],#y0[1])$, $(#x0[2],#y0[2])$;
\item[velocidades] (em m/s):  $(#u0[0],#v0[0])$, $(#u0[1],#v0[1])$, $(#u0[2],#v0[2])$. 
\end{description}

\vspace{5mm}

Calcule:
\begin{enumerate}

\item #q[0];
\item #q[1];
\item #q[2];
\item #q[3];

\end{enumerate}

#sugestion:
    
#resolution:
  
\begin{enumerate}

\item #sol1[0]=#r1[0] \hspace{5mm}  #sol2[0]=#r2[0];
\item #sol1[1]=#r1[1] \hspace{5mm}  #sol2[1]=#r2[1];
\item #sol1[2]=#r1[2] \hspace{5mm}  #sol2[2]=#r2[2];
\item #sol1[3]=#r1[3] \hspace{5mm}  #sol2[3]=#r2[3];

\end{enumerate}


#result:

\begin{enumerate}

\item #r1[0] \hspace{5mm}  #r2[0];
\item #r1[1] \hspace{5mm}  #r2[1];
\item #r1[2] \hspace{5mm}  #r2[2];
\item #r1[3] \hspace{5mm}  #r2[3];

\end{enumerate}


    
#Verify:

#Obs:
        

• author: no author set
• aux: 1
• filename: funcoes.tab
• title: funcoes.tab
• uploaded: Tue Nov 29 09:20:06 WET 2011

e^(#a * x)/(#a)^2
-sin(#a * x)/(#a)^2
-cos(#a * x)/(#a)^2
(#q)^(#a * x)/(#a)^2

• author: Smirnov
• filename: Taylor_Az.txt
• title: Taylor 2 variaveis z
• uploaded: Wed Jan 18 14:27:48 WET 2012

#title: Taylor 2 variaveis z

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f A = [e^z];
f B = [sin(y)];
f a = taylor(#A,z,0,3);
f b = taylor(#B,y,0,3);
f p = #a*#b;
f q = expand(#p);
f t = taylor(#p, [z,y],0,3);
f g = #A*#B;


#question:

\noindent Determine polinómio de Taylor $P(z,y)$ de grau 3 no ponto $(0,0)$ para a função $f(z,y)=#g$.


#sugestion:



#resolution: Desenvolvendo as funções $#A$ e $#B$ em séries de Taylor no ponto 0, obtemos:
$$
 #A = #a +\ldots
$$
e
$$
 #B = #b + \ldots .
$$
Deixando os termos até grau 3 e multiplicando obtemos
$$
 #p
$$
$$
 = #q.
$$
Daqui vemos que o polinómio de Taylor da função $#g$  no ponto $(0,0)$ é
$$
 P(z,y)= #t .
$$



#result:


#Verification:

• author: Smirnov, Irene, JJ
• filename: IntegracaoPorPartes_A.txt
• title: Integração por partes A
• uploaded: Wed Jan 4 19:57:02 WET 2012

#title: Integração por partes A

#author: Smirnov, Irene, JJ

#let:

n a = import(coef_a.tab);
n b = import(coef_b.tab);
n c = import(coef_c.tab);
n q = import(coef_q.tab);

f def_e = e :: %e;

f P = import(funcoes.tab);

f U  = [ #b*x+#c] ;

f dP = diff(#P,x,1);
f dU = diff(#U,x,1);


f V = #dP / #dU;
f dV = diff(#V,x,1);
f UdV = #U*#dV; 
f VdU =#V*#dU;
f UV = #U*#V ;

f SUdV = ratsimp(#UdV);
f SUV = ratsimp(#UV);
f SVdU = ratsimp(#VdU);

f SUVP = #SUV - #P; 

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #SUdV dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Fazendo
$$
u=#U
$$
e
$$
v=#V
$$
e utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu,
$$
obtemos
$$
\int #SUdV dx
$$
$$
 =#SUV-\int #SVdU dx
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$



#result:

$$
\int #SUdV dx 
$$
$$
 = #SUVP + C.
$$


#Verification:

f (#SUV+C);

• author: no author set
• filename: jj1-funcoes.txt
• title: Uso de funcões maxima
• uploaded: Thu Dec 15 13:02:38 WET 2011

#title: Uso de funcões maxima
#jj

#Let:

f u  = [ x , x^2 , x^3] ;
f aux1 = [u(x) := #u];

f v  = [ sin(x)  , cos(x) , exp(x)] ;
f aux2 = [v(x) := #v];

f  w1  = v(v(v(a)));
f  w2  = u(v(u(a)));

f v2  = [ x+y , x-y, x*y ];
f aux3 = [v2(x,y) := #v2];

f w3 = v2(v(a),v(b)); 
#Question:

aí vai:
  . u = $#u$;
  . v = $#v$;
  . w1 =v(v(v(a))) = $#w1$;
  . w2 =u(v(u(a))) = $#w2$;
  . w3 = v2(v(a),v(b)= $#w3$;
  #

#Sugestion:

#Resolution

#Result:

#Verify:

• author: jj
• filename: animais0
• title: Exercício tipo infantil
• uploaded: Fri Nov 25 14:26:07 WET 2011

#title: Exercício tipo infantil
#author: jj 
#Obs: ListPerl, importcol, import ls, import file, num/str
#let:

n a  = {[20..26]} ;
s b   = import(F/animais.list) ;
 a ~ b ;
s a1  = import( F/animais.list) ;
peso = {[10..100]};

s file= importcom( ls );
macho = importcol(F/femea.tab,1);
femea = importcol(F/femea.tab,2);
macho ~ femea;
n peso_final = #a*#peso

#question:

\begin{enumerate}
\item  Quanto pesam #a #a1\mbox{s} (cada #a1 pesa #peso)?
\item  Qual a fêmea do #macho?
\item  Existe um ficheiro \verb!#file!
\end{enumerate}

\batatas

#sugestion:
#resolution:
 $ total = #a \times peso(\mbox{#a1}) $
#result:
 Peso final: $ #peso_final $ \\ #macho → #femea
#Verify:

• author: Smirnov
• filename: Diferenciabilidade_A.txt
• title: Diferenciabilidade A
• uploaded: Tue Jan 24 16:40:40 WET 2012

#title: Diferenciabilidade A

#author: Smirnov

#let:

n p = [2, 3, 4, 5, 6,7];
n q = [2, 3, 4, 5, 6,7];
f aux3 = [a(x) := abs(x)^(1/#p)];
f aux4 = [b(y) := abs(y)^(1/#q)];

f aux5 = [H(u,v):=u*v];
f HH = H(a(x),b(y));



#question:

\noindent A função $f(x,y)=#HH$ é diferenciável no ponto $(0,0)$?

#sugestion:

Mostre que $|f(x,x)|\not < {\rm (const)}|x|$

#resolution: 
É fácil ver que as derivadas parciais da função $f$ no ponto $(0,0)$ existem e são iguais a zero. Fazendo $x=y$ obtemos $|f(x,x)|=|x|^{1/#p+1/#q}\geq|x|$, sempre que $|x|$ é suficientemente pequeno. Logo a função não é diferenciável no ponto $(0,0)$.

#result:

#verification:

• author: Smirnov, Irene
• filename: Continuidade_B.txt
• title: Continuidade B
• uploaded: Tue Jan 24 17:16:45 WET 2012

#title: Continuidade B

#author: Smirnov, Irene

#let:

n A = [2,3,4,5,6];
n B = [4,9,16,25,36];
n K = [2,3,4,5,6];
n L = [2,3,4,5,6];
n K1 = [1,2,3];
n L1 = [1,2,3];
n N = #K+#K1; 
n M = #L+#L1;
n K2 = 2*#K;
n K3 = 2*#K1;
n L2 = 2*#L;
n L3 = 2*#L1;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^(2*#K)+#B*y^(2*#L);
f g1 = x^(2*#N);
f g2 = y^(2*#M);

f D = diff(#g/#h,y,1);

#question:

\noindent Considere a função $f(x,y)$ definida por

$$
 f(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{#g}{#h}, & x^2+y^2\neq 0,\\
0, & x^2+y^2=0.
\end{array}
\right.
$$
\begin{enumerate}
\item Estude a continuidade da função $f(x,y)$;
\item Determine a expressão de $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$.

\end{enumerate}


#sugestion:

Utilize a desigualdade $ab\leq(a^2+b^2)/2$ para estudar a continuidade em $(0,0)$.

#resolution:

\begin{enumerate}
\item A função $f$ é contínua em $R^{2} \backslash \{(0,0)\}$ por ser o quociente de duas funções polinomiais que são contínuas.

A continuidade de $f$ no ponto $(0,0)$ pode ser estudada, verificando se 
$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$.
O que se conlcui, é que o limite duplo  existe e é igual a zero e, assim, a função é contínua em $(0,0)$. De fato, temos
$$
 \left|\frac{#g}{#h}\right|
 \leq \frac{1}{2}
 \left(\frac{#g1+#g2}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}x^{#K2}+y^{#L3}y^{#L2}}{#h}\right)
 \leq \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}(x^{#K2}+y^{#L2})
 +y^{#L3}(x^{#K2}+y^{#L2})}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{(x^{#K3}+y^{#L3})(x^{#K2}+y^{#L2})
 }{#h}\right)
 \leq x^{#K3}+y^{#L3}\rightarrow 0,\;\; {\rm quando}\;\; (x,y)\rightarrow (0,0).
$$
Logo, a função $f$ é contínua em $R^2$.
   

\item Calculando $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ obtém-se:
$$
 \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } = #D.
$$

\end{enumerate}

#result:

#verification:

• author: Cláudia
• filename: Tikz.txt
• title: Síntaxe Tikz
• uploaded: Sun Nov 27 00:30:08 WET 2011

#Title: Síntaxe Tikz
#author: Cláudia

#Let:
n m=[-0.5, 0.5, -1, 1];
n b=[-1, 0, 1];

#Question:

Caminhos abertos e fechados 
%Coordenadas cartesianas: unidade = 1cm

\begin{tikzpicture}
\draw (-0.2,0) -- (-0.2,1.4) -- (1.2,0);
\draw (0,0) -- (0,1) -- (1,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Coordenadas polares
%é necessário indicar as unidades

\begin{tikzpicture}
\draw (0:1cm) -- (60:1cm) -- (120:1cm) -- (180:1cm) -- (240:1cm) -- (300:1cm) -- (360:1cm) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Rectângulo e círculo

% Definir pontos para usar mais tarde
\begin{tikzpicture}
\path (0,0) coordinate (origem);
\path (-1,-1) coordinate (P0);
\path (1,1) coordinate (P1);
\draw (P0) rectangle (P1);
\draw (origem) circle (1cm);
\end{tikzpicture}

Arcos

\begin{tikzpicture}
\path (0,0) coordinate (P1);
\path (1,1) coordinate (P2);
\draw(P1) arc(0:90:1cm);
\draw(P2) arc(90:180:1cm);
\end{tikzpicture}

Plots e labels

\begin{tikzpicture}[domain=-2:2]
% Sistema de eixos
    \draw [->,thick] (0,-3) -- (0,3) node [above] {$y$};
    \draw [->,thick] (-2,0) -- (2,0) node [right] {$x$};
% Funçaõ afim, m e b sorteados
\draw plot (\x,#m*\x*\x+#b);
\end{tikzpicture}

Escalas

\begin{tikzpicture}
%\draw[step=0.25cm] (-1,-1) grid (1,1);
\draw (0,0) circle (1cm);
\filldraw[fill=black] (-0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0,0.3) -- (0.15,-0.15) --(-0.15,-0.15) -- cycle;
\draw (-0.45,-0.35) arc(205:335:0.5cm);
\draw (-0.45,-0.35) -- (0.45,-0.35);
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
%\draw[step=0.25cm] (-1,-1) grid (1,1);
\draw (0,0) circle (1cm);
\filldraw[fill=black] (-0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0.35,0.4) circle (0.9mm);
\filldraw[fill=black] (0,0.3) -- (0.15,-0.15) --(-0.15,-0.15) -- cycle;
\draw (-0.45,-0.35) arc(205:335:0.5cm);
\draw (-0.45,-0.35) -- (0.45,-0.35);
\end{tikzpicture}
#Sugestion:

#resolution:


#Result:

#Verification:


#usepackage
\usepackage{tikz}

• author: Smirnov
• filename: Taylor.txt
• title: Taylor 2 variaveis
• uploaded: Tue Jan 24 18:59:12 WET 2012

#title: Taylor 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f A = [e^x, cos(x), log(1+x), atan(x)];
f B = [sin(y), tan(y),1/(1+y),1/sqrt(1+y)];
f a = taylor(#A,x,0,3);
f b = taylor(#B,y,0,3);
f p = #a*#b;
f q = expand(#p);
f t = taylor(#p, [x,y],0,3);
f g = #A*#B;


#question:

\noindent Determine polinómio de Taylor $P(x,y)$ de grau 3 no ponto $(0,0)$ para a função $f(x,y)=#g$.


#sugestion:



#resolution: Desenvolvendo as funções $#A$ e $#B$ em séries de Taylor no ponto 0, obtemos:
$$
 #A = #a +\ldots
$$
e
$$
 #B = #b + \ldots .
$$
Deixando os termos até ao grau 3 e desenvolvendo o produto obtemos
$$
 #p
$$
$$
 = #q.
$$
Daqui vemos que o polinómio de Taylor de grau 3  da função $#g$  no ponto $(0,0)$ é
$$
 P(x,y)= #t .
$$



#result:


#Verification:

• author: Smirnov
• filename: Limite_B.txt
• title: Limites B
• uploaded: Tue Jan 24 16:44:12 WET 2012

#title: Limites B

#author: Smirnov

#let:

n A = import(coef_aLim_A.tab);
n B = import(coef_bbLim_A.tab);
n K = import(coef_aLim_A.tab);
n L = import(coef_aLim_A.tab);
n K1 = import(coef_bLim_A.tab);
n L1 = import(coef_bLim_A.tab);
n N = #K+#K1; 
n M = #L+#L1;
n K2 = 2*#K;
n K3 = 2*#K1;
n L2 = 2*#L;
n L3 = 2*#L1;

f g = x^#N*y^#M;
f h = #A*x^(2*#K)+#B*y^(2*#L);
f g1 = x^(2*#N);
f g2 = y^(2*#M);



#question:

\noindent Seja
$$
 f(x,y)=\frac{#g}{#h}.
$$
Calcule os limites iterados 
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \lim_{y\rightarrow 0}f(x,y)\right)\; {\rm     e}\; \lim_{y\rightarrow 0}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f(x,y)\right) . 
$$
O que pode concluir sobre a existência do limite duplo
$$
 \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)?
$$


#sugestion:

Utilize a desigualdade $ab\leq(a^2+b^2)/2$.

#resolution:

Os limites repetidos obviamente são iguais a zero. O limite duplo existe e é igual a zero. De fato, temos
$$
 \left|\frac{#g}{#h}\right|
 \leq \frac{1}{2}
 \left(\frac{#g1+#g2}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}x^{#K2}+y^{#L3}y^{#L2}}{#h}\right)
 \leq \frac{1}{2} \left(\frac{x^{#K3}(x^{#K2}+y^{#L2})
 +y^{#L3}(x^{#K2}+y^{#L2})}{#h}\right)
$$
$$
 = \frac{1}{2} \left(\frac{(x^{#K3}+y^{#L3})(x^{#K2}+y^{#L2})
 }{#h}\right)
 \leq x^{#K3}+y^{#L3}\rightarrow 0,\;\; {\rm quando}\;\; (x,y)\rightarrow (0,0).
$$


#result:

#verification:

• author: Smirnov
• filename: DerivadaFuncaoComposta2Variaveis.txt
• title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis
• uploaded: Tue Jan 24 16:39:04 WET 2012

#title: Derivada de funcao composta de 2 variaveis

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f F = [e^u, sin(u), cos(u), tan(u), atan(u)];
f aux1 = [FF(u):=#F];
f G = [v^2, v^3, sqrt(v), log(v)];
f aux2 = [GG(v):=#G];
f aux3 = [H(u,v):=FF(u)*GG(v)];
f u1 = [x^2+y, sqrt(x)+y, x+sqrt(y)];
f aux4 = [u2(x,y):=#u1];
f v1 = [x+y^4, sqrt(x)+y, sqrt(x+y)];
f aux5 = [v2(x,y):=#v1];
f HH = H(u2(x,y),v2(x,y));
f Dx = diff(#HH,x,1);
f Dy = diff(#HH,y,1);

f Dxy = diff(#HH,x,1,y,1);

#question:

\noindent Seja $f(x,y)=#HH$. Calcule as derivadas parciais
$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ e $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$.

#sugestion:



#resolution:  Utilizando regra de cadeia obtemos
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = #Dx,
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = #Dy,
$$
$$
  \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = #Dxy .
$$


#result:


#Verification:

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_a.tab
• title: coef_a.tab
• uploaded: Wed Jan 4 11:04:15 WET 2012

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• author: Smirnov, Irene
• filename: Dom_Irene.txt
• title: Domínio de função (com gráficos)
• uploaded: Wed Jan 18 15:25:44 WET 2012

#title: Domínio de função (com gráficos)

#author: Smirnov, Irene

#let:

n a = import(coef_aDom.tab);
n b = import(coef_bDom.tab);
n c = import(coef_cDom.tab);


f F1 = [sqrt(z), sqrt(-z), log(z), log(-z), 1/z, 1/sqrt(z),1/sqrt(-z)];

s S = [\geq, \leq, >, <, \neq, >, <];



f D0  = [ #a^2-(x+#b)^2-(y+#c)^2];
f D1 = ratsimp(#D0);


f d = ratsimp(-#b);

f e = ratsimp(-#c);


f aux1 = [F(z) := #F1];

f G  = ratsimp(F(#D1));




fig1 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};




fig2 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



fig3 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture}  }};



fig4 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig5 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\draw[style=dashed,color=white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig6 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig7 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



Gr = [#fig1, #fig2, #fig3, #fig4, #fig5, #fig6, #fig7];

F1~S~Gr;







#question:

\noindent Determine  e represente geometricamente o domínio da função $f(x,y)=#G$.


#sugestion:


#resolution:


#result:
$$
 {\rm dom} f = \{ (x,y) \mid  #D0 #S 0\}.
$$


$$
 #Gr
$$


A área azul representa o domínio da função.


#Verification:


#usepackage:
 
\usepackage{tikz} 

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_q.tab
• title: coef_q.tab
• uploaded: Wed Jan 4 11:05:30 WET 2012

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• author: Smirnov
• filename: Dominios_Tikz_4.txt
• title: Domínio de função
• uploaded: Wed Jan 18 15:21:07 WET 2012

#title: Domínio de função

#author: Smirnov




#let:

n a = [1,2,3,4];
n b = [-1,1,-2,2,-3,3,-4,4];
n c = [-1,1,-2,2,-3,3,-4,4];


f F1 = [sqrt(z), sqrt(-z), log(z), log(-z), 1/z, 1/sqrt(z),1/sqrt(-z)];

s S = [\geq, \leq, >, <, \neq, >, <];



f D0  = [ #a^2-(x+#b)^2-(y+#c)^2];
f D1 = ratsimp(#D0);


f d = ratsimp(-#b);

f e = ratsimp(-#c);


f aux1 = [F(z) := #F1];

f G  = ratsimp(F(#D1));


fig1 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};




fig2 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



fig3 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture}  }};



fig4 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig5 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\draw[style=dashed,color=white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig6 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\fill[blue!20] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};


fig7 = {{ \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\filldraw[blue!20] (-7,-7) rectangle (7,7);
\filldraw[white] (#d,#e) circle (#a);
\draw[style=dashed,color=black] (#d,#e) circle (#a);
\draw[->](-8,0)--(8,0) node[right]{$x$};
\draw[->](0,-8)--(0,8) node[above]{$y$};
\node at (#d,#e) [below] {$(#d,#e)$};
\filldraw[black] (#d,#e) circle(1.5pt);
\foreach \x/\xtext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2,  4/4,  6/6, }
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,0.3pt) -- (0pt,-0.3pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-6/6, -4/4, -2/2, 2/2, 4/4, 6/6}
\draw[shift={(0,\y)}] (0.3pt,0pt) -- (-0.3pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\foreach \x in {-7,...,7}
\draw (\x cm,-1pt) -- (\x cm,1pt);
\foreach \y in {-7,...,7}
\draw (-1pt,\y cm) -- (1pt,\y cm);
\end{tikzpicture} }};



Gr = [#fig1, #fig2, #fig3, #fig4, #fig5, #fig6, #fig7];

F1~S~Gr;


#question:

\noindent Determine  e represente geometricamente o domínio da função $f(x,y)=#G$.


#sugestion:


#resolution:






#result:
$$
 {\rm dom} f = \{ (x,y) \mid  #D0 #S 0\}.
$$


$$
 #Gr
$$


A área azul representa o domínio da função.


#Verification:


#usepackage:
 
\usepackage{tikz} 

• author: Smirnov
• filename: MultiplicadoresDeLagrange_A.txt
• title: Regra dos multiplicadores de Lagrange A
• uploaded: Wed Jan 25 17:56:45 WET 2012

#title: Regra dos multiplicadores de Lagrange A

#author: Smirnov

#let:

n a = {[1..9]};
n b = {[1..9]};
n c = {[1..9]};
n d = {[1..9]};
n r = {[1..9]};
n x0 = {[1..9]};
n y0 = {[1..9]};

n c2 = 2*#c;
n d2 = 2*#d;
n c4 = 4*#c;
n d4 = 4*#d;

n lam = (#a^2/#c+#b^2/#d)/4/#r;

f F = [#a*x+#b*y];
f G  = [(x+#x0)^2+(y+#y0)^2-#r];
f GG = ratsimp(#G);

#question:

\noindent Sejam 
\begin{eqnarray*}
 && z=(x,y),\\
 && f(z)=#a x+#b y,\\
 && g(z)=#GG.
\end{eqnarray*}
Utilizando a regra dos multiplicadores de Lagrange resolva o problema
\begin{eqnarray*}
 && f(z)\rightarrow\min,\\
 && g(z)=0.
\end{eqnarray*}

#sugestion: Como $\nabla g(z)\neq 0$ quando $g(z)=0$, existe um multiplicador de Lagrange $\lambda$ tal que no ponto de  mínimo se verifica a igualdade $\nabla_z L(z,\lambda )=0$, onde $L(z,\lambda )= f(z)+\lambda g(z)$ é a função de Lagrange.


#resolution: A função de Lagrange é dada por
$$
L(x,y,\lambda )=#F+\lambda (#GG).
$$
A condição necessária de mínimo  $\nabla_z L(z,\lambda )=0$ toma a forma
\begin{eqnarray*}
 && #a + #c2 \lambda (x - #x0 ) =0,\\
 && #b + #d2 \lambda (y - #y0 ) =0.
\end{eqnarray*}
Daqui obtemos
\begin{eqnarray*}
 && x = #x0 - \frac{#a}{#c2 \lambda},\\
 && y = #y0 - \frac{#b}{#d2 \lambda}.
\end{eqnarray*}
Substituindo estes valores na igualdade $g(x)=0$, obtemos
$$
 \frac{#a^2}{ #c4 \lambda^2} +  \frac{#b^2}{ #d4 \lambda^2}= #r.
$$
Daqui encontramos 
$$
 \lambda = \pm \sqrt{#lam }.
$$
O sinal mais corresponde ao máximo e o sinal menos ao mínimo. Portanto a solução do problema é
\begin{eqnarray*}
 && x = #x0-\frac{#a}{#c2 \sqrt{#lam}} ,\\
 && y = #y0-\frac{#b}{#d2 \sqrt{#lam}} .
\end{eqnarray*}

#result:

\begin{eqnarray*}
 && x = #x0-\frac{#a}{#c2 \sqrt{#lam}} ,\\
 && y = #y0-\frac{#b}{#d2 \sqrt{#lam}} .
\end{eqnarray*}


#Verification:


#usepackage:
 

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: IntegracaoFrcoesRacionais1.txt
• title: Regra de integracao de fracoes
• uploaded: Thu Nov 24 13:40:22 WET 2011

#title: Regra de integracao de fracoes

#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira

#let:

n a = {[-3..0]};
n b = {[1..4]};

n k1 = {[-5..5]};
n k2 = {[-5..5]};

f w = (x-#a)*(x-#b);

f den=expand(#w);

f enun= #den;

f sf = A/(x-#a) + B/(x-#b);

f ssf =((A+B)*x-(A*#b+B*#a))/(#w);

f c = #b* A + #a* B;

#question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int \frac{dx}{#enun}.
$$

#sugestion:

abc

#resolution:

\noindent Resolvendo a equação
$$
 #den =0;
$$
obtemos
$$
 #den = #w.
$$
A fração 
$$
\frac{1}{ #enun}
$$
pode ser representada na forma de soma de frações elementares:
$$
 \frac{1}{ #enun} = #sf.
$$
Da igualdade
$$
 #sf=#ssf
$$
obtemos o sistema
\begin{eqnarray*}
&& A +B=0\\
&& #c =-1.
\end{eqnarray*}
Resolvendo este sistema obtemos $A=#k1$ e $B=#k2$. Portanto
$$
\int \frac{dx}{#enun}= #k1 \int \frac{dx}{x-#a} + #k2 \int \frac{dx}{x-#b}
$$
$$
 =#k1\log (x-#a)+#k2\log (x-#b) +C = \log{(x-#a)^{#k1}}{(x-#b)^{#k2}}+C.
$$



#result

$$
\int \frac{dx}{#enun}= \log{(x-#a)^{#k1}}{(x-#b)^{#k2}}+C.
$$

• author: Ricardo
• filename: NParticulasNV1.txt
• title: Sistemas de N partí­culas
• uploaded: Tue Nov 29 08:58:26 WET 2011

#title: Sistemas de N partí­culas

#author: Ricardo

#let:

n m[3]  = {[1..9]}; 

n x0[3] = {[-9..-1,1..9]}; 

n y0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n u0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

n v0[3] = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9]; 

s q[4] = [posição do centro de massa,
          velocidade do cento de massa,
          momento linear total,
          momento angular total relativamente à  origem,
          energia cinética total,
          energia cinética  do centro de massa
           ] ;

n r1[4] = [(#m[0]*#x0[0]+#m[1]*#x0[1]+#m[2]*#x0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
          (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
          (#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2]),
           (#m[0]*(#x0[0]*#v0[0]-#y0[0]*#u0[0])+#m[1]*(#x0[1]*#v0[1]-#y0[1]*#u0[1])+#m[2]*(#x0[2]*#v0[2]-#y0[2]*#u0[2])),
           (#m[0]*(#u0[0]*#u0[0]+#v0[0]*#v0[0])+#m[1]*(#u0[1]*#u0[1]+#v0[1]*#v0[1])+#m[2]*(#u0[2]*#u0[2]+#v0[2]*#v0[2]))/2,
           ((#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])*(#m[0]*#u0[0]+#m[1]*#u0[1]+#m[2]*#u0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]))/2
           ] ;

n r2[4] = [(#m[0]*#y0[0]+#m[1]*#y0[1]+#m[2]*#y0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
           (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2])/(#m[0]+#m[1]+#m[2]),
            (#m[0]*#v0[0]+#m[1]*#v0[1]+#m[2]*#v0[2]),
             ,
             ,
              ] ;

s sol1[4] = [ $x=\frac{\sum_{i=1}^3 x_i m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
              $v_x=\frac{\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
              $p_x=\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i=$, 
              $L_z=\sum_{i=1}^3 m_i(x_iv_{yi}-y_iv_{xi})=$,
              $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 m_i(v_{xi}^2+v_{yi}^2)=$,
              $T_c=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^3m_i\right)\left(\frac{\sum_{i=1}^3 v_{xi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}\right)^2=$
               ] ;

s sol2[4] = [ $y=\frac{\sum_{i=1}^3 y_{i} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
               $v_y=\frac{\sum_{i=1}^3 v_{yi} m_i}{\sum_{i=1}^3m_i}=$, 
               $p_y=\sum_{i=1}^3 v_{yi} m_i=$, 
                ,
             ,
              ] ;



q ~ r1 ~r2 ~ sol1 ~ sol2 ;         


#question:

Considere 3 partí­culas com as seguintes propriedades, respectivamente:\\
~\\
massas (em kg): $m_1=#m[0]$, $m_2=#m[1]$, $m_3=#m[2]$; \\
~\\
coordenadas (em m): $(#x0[0],#y0[0])$, $(#x0[1],#y0[1])$, $(#x0[2],#y0[2])$;   \\
~\\
velocidades (em m/s):  $(#u0[0],#v0[0])$, $(#u0[1],#v0[1])$, $(#u0[2],#v0[2])$. 

\vspace{5mm}

Calcule:
\begin{enumerate}

\item #q[0];
\item #q[1];
\item #q[2];
\item #q[3];

\end{enumerate}

#sugestion:
    
#resolution:
  
\begin{enumerate}

\item #sol1[0]#r1[0] \hspace{5mm}  #sol2[0]#r2[0];
\item #sol1[1]#r1[1] \hspace{5mm}  #sol2[1]#r2[1];
\item #sol1[2]#r1[2] \hspace{5mm}  #sol2[2]#r2[2];
\item #sol1[3]#r1[3] \hspace{5mm}  #sol2[3]#r2[3];

\end{enumerate}


#result:

\begin{enumerate}

\item #r1[0] \hspace{5mm}  #r2[0];
\item #r1[1] \hspace{5mm}  #r2[1];
\item #r1[2] \hspace{5mm}  #r2[2];
\item #r1[3] \hspace{5mm}  #r2[3];

\end{enumerate}


    
#Verify:

#Obs:
        

• author: Smirnov
• filename: subst.txt
• title: substituição
• uploaded: Tue Jan 24 15:46:40 WET 2012

#title: substituição
#author: Smirnov

#let:

n p = [2, 3, 4, 5, 6,7];
f aux3 = [a(x) := abs(x)^(1/#p)];

s D = [\dot{z}];

s F = a(#D);

#question:

$$ #F $$

#sugestion:


#resolution:


#result:


#Verify:

• author: Smirnov
• filename: Diferenciabilidade_B.txt
• title: Diferenciabilidade B
• uploaded: Tue Jan 24 16:41:45 WET 2012

#title: Diferenciabilidade B

#author: Smirnov

#let:

f F = [u, sin(u), tan(u), atan(u), asen(u), log(1+u)];
f G = [v, sin(v), tan(v), atan(v), asen(v), log(1+v)];
f aux1 = [FF(u):=#F];
f aux2 = [GG(v):=#G];
f aux3 = [a(x) := abs(x)];
f aux4 = [b(y) := abs(y)];

f aux5 = [H(u,v):=FF(u)*GG(v)];
f HH = H(a(x),b(y));



#question:

\noindent A função $f(x,y)=#HH$ é diferenciável no ponto $(0,0)$?

#sugestion:

Seja $h:R\rightarrow R$  uma função diferenciável tal que $h(0)=0$ e $h'(0)\neq 0$. Então  verifica-se a desigualdade $|h(x)|\leq {\rm (const)}|h'(0)||x|$, sempre que $|x|$ é suficiente pequeno. Utilize esta observação e a desigualdade $ab\leq(a^2+b^2)/2$.

#resolution:
É fácil ver que as derivadas parciais da função $f$ no ponto $(0,0)$ existem e são iguais a zero. 
Seja $h:R\rightarrow R$  uma função diferenciável tal que $h(0)=0$ e $h'(0)\neq 0$. Então  verifica-se a desigualdade $|h(x)|\leq {\rm (const)}|h'(0)||x|$, sempre que $|x|$ é suficiente pequeno. Utilizando esta observação obtemos
$$
|f(x,y)|\leq {\rm (const)}|x||y|.
$$
Da desigualdade $ab\leq(a^2+b^2)/2$ vem
$$
|f(x,y)|\leq \frac{{\rm (const)}}{2}(|x|^2+|y|^2).
$$
Portanto a função $f$ é diferenciável no ponto $(0,0)$.



#result:

#verification:

• author: Smirnov
• filename: Taylor_B.txt
• title: Taylor 2 variaveis (soma)
• uploaded: Wed Jan 18 14:46:37 WET 2012

#title: Taylor 2 variaveis (soma)

#author: Smirnov

#let:

f def_e = e :: %e;
f A = [e^x];
f B = [sin(z)];
f aux1 = [BB(z):=#B];
f BBB = BB(x+y);
f a = taylor(#A,x,0,3);
f b = taylor(#B,z,0,5);
f aux2 = [bb(z):=#b];
f bbb = bb(x+y);
f p = #a*#bbb;
f q = expand(#p);
f t = taylor(#p, [x,y],0,3);
f g = #A*#BBB;


#question:

\noindent Determine polinómio de Taylor $P(x,y)$ de grau 3 no ponto $(0,0)$ para a função $f(x,y)=#g$.


#sugestion:



#resolution: Desenvolvendo as funções $#A$ e $#B$ em séries de Taylor no ponto 0, obtemos:
$$
 #A = #a +\ldots
$$
e
$$
 #B = #b + \ldots .
$$
Deixando os termos até grau 3 e multiplicando obtemos
$$
 #p
$$
$$
 = #q.
$$
Daqui vemos que o polinómio de Taylor da função $#g$  no ponto $(0,0)$ é
$$
 P(x,y)= #t .
$$



#result:


#Verification:

• author: Smirnov
• filename: MudancaDeVariavel.txt
• title: Integração via mudança de variável
• uploaded: Wed Jan 4 19:55:52 WET 2012

#title: Integração via mudança de variável 

#author: Smirnov

#Let:


n a = import(coef_a.tab);

f def_e = e :: %e;

f u = import(funcoes_u.tab);
f aux1 = [u(x) := #u];

f v1 = import(funcoes_v.tab);
f aux2 = [v(x) := #v1];

f w  = u(v(x));
f aux3 = [w(x) := #w];

f dw = diff(#w,x,1);

f du = diff(#u,x,1);
f aux4 = [du(x) := #du];

f dU = du(v);

f U = u(v);


#Question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #dw dx
$$

#Sugestion:

\noindent Utilize a f\'ormula 
$$
\int u(v(x))v'(x)dx=\int u(v)dv.
$$


#Resolution:

\noindent Utilizando a mudançaa de variável $v(x)=#v1$ obtemos
$$
\int #dw dx =\int #dU dv+C=#U+C=#w+C.
$$


#Result:

$$
\int #dw dx = #w+C.
$$


#Verification:

f (#w+C)   ;

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_b.tab
• title: coef_b.tab
• uploaded: Wed Jan 4 11:04:40 WET 2012

1
2
3
4
5
6
7
8
9

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_aLim_A.tab
• title: coef_aLim_A.tab
• uploaded: Mon Jan 16 21:22:25 WET 2012

2
3
4
5
6

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_cDom.tab
• title: coef_cDom.tab
• uploaded: Mon Jan 16 17:57:11 WET 2012

-1
1
-2
2
-3
3
-4
4

• author: Smirnov, Irene, JJ
• filename: IntegracaoPorPartes_B.txt
• title: Integração por partes B
• uploaded: Wed Jan 4 11:14:58 WET 2012

#title: Integração por partes B

#author: Smirnov, Irene, JJ

#let:

n a = import(coef_a.tab);
n b = import(coef_b.tab);
n q = import(coef_q.tab);

f U = [log(x), log(x^(#q)), atan(#a*x), asin(#b*x)] ;
f P  = [x^(#q+1)/(#q+1)^2,  #q*x, log(1+(#a)^2*x^2)/(2*#a), -sqrt(1-(#b)^2*x^2)/#b ] ;
f X = [x^(#q), 1, 1, 1] ;
f Y = [x^(#q+1)/(#q+1), x, x, x] ;
U~P~X~Y;
f dU = diff(#U,x,1);
f xU = #Y*#U;
f xdU = #Y*#dU;
f W = #X*#U
f SxU = ratsimp(#xU);

f SxUP = #SxU - #P; 

#question:

\noindent Calcule a primitiva
$$
\int #W dx.
$$


#sugestion:

\noindent Utilize a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu.
$$


#resolution

\noindent Fazendo
$$
u=#U
$$
e
$$
v=#Y
$$
e utilizando a fórmula de integração por partes
$$
\int udv=uv-\int vdu,
$$
obtemos
$$
\int #W dx
$$
$$
 =#xU-\int #xdU dx.
$$
A primitiva 
$$
\int #xdU dx
$$
é imediata. Portanto temos
$$
\int #W dx = #SxUP + C.
$$



#result:

$$
\int #W dx 
$$
$$
 = #SxUP + C.
$$


#Verification:

f (#SxUP + C);

• author: no author set
• aux: 1
• filename: funcoes_v.tab
• title: funcoes_v.tab
• uploaded: Wed Jan 4 17:27:49 WET 2012

e^(#a * x)
sin(#a * x)
cos(#a * x)
atan(#a*x)
asin(#a*x)
acos(#a*x)
log(#a*x)

• author: Gaspar
• filename: exTikz.txt
• title: exemplo Tikz adaptado da galeria de exemplos do Tikz
• uploaded: Sat Nov 26 04:40:55 WET 2011

#Title: exemplo Tikz adaptado da galeria de exemplos do Tikz
#author: Gaspar

#Let:

n iangle = [20, 40, 60] ;

#Question:

\def\down{-90}
\def\arcr{0.5cm} % Radius of the arc used to indicate angles

\begin{tikzpicture}[
    force/.style={>=latex,draw=blue,fill=blue},
    axis/.style={densely dashed,gray,font=\small},
    M/.style={rectangle,draw,fill=lightgray,minimum size=0.5cm,thin},
    m/.style={rectangle,draw=black,fill=lightgray,minimum size=0.3cm,thin},
    plane/.style={draw=black,fill=blue!10},
    string/.style={draw=red, thick},
    pulley/.style={thick},
]
    %% Sketch
    \draw[plane] (0,-1) coordinate (base)
                     -- coordinate[pos=0.5] (mid) ++(#iangle:3) coordinate (top)
                     |- (base) -- cycle;
    \path (mid) node[M,rotate=#iangle,yshift=0.25cm] (M) {};
    \draw[pulley] (top) -- ++(#iangle:0.25) circle (0.25cm)
                   ++ (90-#iangle:0.5) coordinate (pulley);
    \draw[string] (M.east) -- ++(#iangle:1.5cm) arc (90+#iangle:0:0.25)
                  -- ++(0,-1) node[m] {};

    \draw[->] (base)++(\arcr,0) arc (0:#iangle:\arcr);
    \path (base)++(#iangle*0.5:\arcr+5pt) node {$\alpha$};
    %%
\end{tikzpicture}


#Sugestion:

#resolution:

#Result:

#Verification:

#usepackage

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{scopes}

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_c.tab
• title: coef_c.tab
• uploaded: Wed Jan 4 11:05:02 WET 2012

0
1
2
3

• author: Smirnov
• filename: Diferencial.txt
• title: Uso de diferencial para cálculos aproximados
• uploaded: Tue Jan 24 18:51:36 WET 2012

#title: Uso de diferencial para cálculos aproximados

#author: Smirnov

#let:

n n1 = [2,3,4,5];
n m1 = [2,3,4,5];
n k1 = [2,3,4];

n a = [5,6,7,8,9];
n b = [5,6,7,8,9];
n d = [2,3,4];
n c = #a^#n1+#b^#m1-#d^#k1;
n da = [-0.1,0.1];
n db = [-0.2,0.2];
n a1 =#a+#da;
n b1 =#b+#db;

n n2 = #n1-1;
n m2 = #m1-1;
n k2 = 1-#k1;

n r = #d+ #n1* #a^#n2* #d^#k2 *#da/#k1 + #m1* #b^#m2 *#d^#k2* #db/#k1;


#question:

\noindent Usando diferenciais, calcule um valor aproximado de $\sqrt[{#k1}]{{#a1}^{#n1}+{#b1}^{#m1}-#c}$.

#sugestion:



#resolution: 

Sejam $f(x,y)=\sqrt[{#k1}]{x^{#n1}+y^{#m1}-#c}$, $x=#a$, $y=#b$, $\Delta x=#da$ e $\Delta y=#db$. Então temos
$$
 f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+
 \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\Delta x
 +
 \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\Delta y
$$
$$
 = #d+\frac{1}{#k1} #n1 #a^{#n2} #d^{#k2} ( #da ) +
 \frac{1}{#k1} #m1 #b^{#m2} #d^{#k2}( #db)
 = #r.
$$






#result:


#Verification:

• author: no author set
• aux: 1
• filename: coef_bbLim_A.tab
• title: coef_bbLim_A.tab
• uploaded: Mon Jan 16 21:28:07 WET 2012

4
9
16
25
36

• author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
• filename: missfont.log
• title: missfont.log
• uploaded: Wed Dec 14 11:49:51 WET 2011

#title:Regra de integra\c{c}\~{a}o para $P {u^{\alpha}} u^{'} $ ($\alpha \neq -1$) - parte 2.
#author: Rui M. S. Pereira, Teresa Malheiro, Paulo Pereira
#Let:

f alfa = [ 2 ,3, 4,5,6,7,8,9,10] ;
f p= [ ln(x), x ]; 
f dp=[ 1/x, 1 ];
p~dp;
f res2 = ((#p)^(#alfa+1))/(#alfa+1);
f res=ratsimp(#res2,x);
f enun= ratsimp((#p)^#alfa * (#dp));

#Question:
\noindent Calcule o integral indefinido,
$$
\int #enun \,dx.
$$

#Sugestion:
\noindent Utilize a f\'{o}rmula do formul\'{a}rio
$$
\int u^{\alpha} u'= \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
$$
certificando-se que $\alpha \neq 1$.

#Resolution
Obt\'{e}m-se
$$
\int #enun dx= #res+C.
$$
#result
$$ #res+C $$
#Verify
\frac{#p^{#alfa+1}}{#alfa+1}.


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